立体几何练习题1.如图，在三棱柱中，⊥底面，且△为正三角形，，为的中点．(1)求证直线∥平面；(2)求证平面⊥平面；(3)求三棱锥的体积．2.如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点。（1）求证：平面；（2）当正方体棱长等于时，求此几何体的体积。DB1C1ABCA13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）直线A1F∥平面ADE．4.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BC、的中点。（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值。C1B1A1FECAB5.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点,M是PD的中点,2,60ABBAD.（1）求证：//OM平面PAB;（2）平面PBD平面PAC（3）当四棱锥ABCDP的体积等于3时,求PB的长.6.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．7.如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(Ⅰ)若，求证：；(Ⅱ)若二面角的大小为，则CE为何值时，三棱锥的体积为？8.如图，多面体中，两两垂直，且，，，.（Ⅰ）若点在线段上，且，求证：平面；（Ⅱ）求证：(Ⅲ)求直线与平面所成的角的正弦值.PABCDEF9.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（I）求证：平面AEC⊥平面PDB;（II）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．10.如图，菱形ABCD的边长为4，60BAD，ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，22DM.（1）求证：//OM平面ABD；（2）求证：平面DOM平面ABC；（3）求三棱锥BDOM的体积.11.如图在直三棱柱中，，是的中点，且交于点，点在线段上，．(1)证明：平面；(2)若直线平面，求直线与平面所成角的余弦值．12.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）当点E为BC的中点时，证明EF//平面PAC；（2）求三棱锥E-PAD的体积；（3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.13.长方体中，，，是底面对角线的交点。(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求三棱锥的体积。14.如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别是、的中点，若二面角P-CD-A为，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的大小；（Ⅲ)求点到平面的距离．DCABPEF15.已知在四棱锥中，,,，分别是的中点.(Ⅰ)求证；(Ⅱ)求证；(Ⅲ)若，求二面角的大小.16.三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积;(3)证明:平面B1A1MABCNC1GHFABCDE17.如图组合体中，三棱柱111ABCABC的侧面是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（1）求证:无论点C如何运动,平面1ABC平面1AAC；（2）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥111ABCCB与圆柱的体积比．18.如图，在多面体ABDEC中，AE平面ABC，BD//AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点。（I）求证：EF//平面ABC；（II）求证：EF平面BCD；（III）求多面体ABDEC的体积。19.如右图，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角板所在平面互相垂直，若，，，．（Ⅰ）求证：平面平面．（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．（Ⅲ）求到平面的距离．20.在三棱拄111ABCABC中，AB侧面11BBCC，已知11,3BCBCC，21CCAB.（Ⅰ）求证：1CBABC平面；（Ⅱ）试在棱1CC(不包含端点1,)CC上确定一点E的位置,使得1EAEB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.ABCDEC1B1A1CBA试卷答案1.(1)见解析；(2)见解析；(3)9解析：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．…………1分 D为AC中点，得DO为中位线，∴．…………………………2分∴直线AB1∥平面BC1D………………………4分（2）证明： 底面，∴……………………………………5分 底面正三角形，D是AC的中点∴...
