数学教学是思维的教学——听课有感陶维林（江苏南京师大附中210003）我们常说，数学教学是思维的教学．怎样在课堂教学中实施思维教学？思维教学的材料从哪里来？如何适时介入把握思维教学的契机？最近我听了一堂课，就颇有感触．这里先把教学的主要过程写出来，并就在课堂教学中实施思维教学的问题谈一点想法，供同行参考．不当之处，敬请指正．1教学过程简述教学内容是新课程标准教材《数学4》[3]，三角函数的应用．数学教学应当从问题开始，上课伊始，教师亮出问题1：如图1，在一个半径为r的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？师：（不到2分钟教师开始提问）我请一位同学说说你的解法．这不是一道难题，同学们稍作思考是能够说出解法的．生1：设∠AOD＝θ，θ∈（0，π）．S矩形ABCD＝4S△AOD＝2r2sinθ．当θ＝时，sinθ＝1，（S矩形ABCD）max＝2r2．图1所有内接矩形中，正方形面积最大．生2：建立直角坐标系．如图2，设∠EOC＝θ，θ∈（0，）．CE＝rsinθ，OE＝rcosθ，S矩形ABCD＝4r2sinθcosθ＝2r2sin2θ．当θ＝时，sin2θ＝1，（S矩形ABCD）max＝2r2．图2图3生3：（主动要求发言）如图3，连结AC．在（直径AC所分的）每一个半圆中，直角三角形斜边长2r一定，斜边AC上的高最大时，每一个直角三角形面积最大，矩形面积最大．在Rt△ABC中，过B作AC的垂线，垂足为H，当H与圆心O重合时，BH最大，Rt△ABC面积最大．同学们鼓起掌来，赞扬他主动发言的勇气，赞扬他解法的巧妙．正当同学们为前一位同学的解法鼓掌叫好时，又一位同学要求发言．生4：设AB＝x，则BC＝，x∈（0，2r）．S矩形ABCD＝x．教室里很安静，大家都在看他怎样对付x，求出最大值．他不慌不忙地说，x≤＝2r2，最大值是2r2．同学们又鼓起掌来，而且掌声更响．因为，“平均不等式”还没有学，在《数学5》的第三章呢．教师指出还要给出不等式中等号成立的条件．生4补充说，等号在x＝r时成立．1还有生5提出，在图2中，设OE＝x，得到S矩形ABCD＝4x＝4＝4．当x2＝，x＝r时，S矩形ABCD取得最大值2r2．同学们思维活跃，积极参与，课堂气氛热烈．师：同学们给出了这道题的多种解法，很好．我们把题目改一下，把圆改成半圆，请看下一道题．教师又亮出问题2：如图4，在所有内接于半径为r的半圆的矩形中，怎样的矩形面积最大？有了解前一题的经验，同学们也很快给出了类似于前的几种解法．紧接着，教师又亮出问题3：如图5，矩形MNPQ内接于半径为r，圆心角为60°的扇形AOB，点M，N在半径OA上，点P在弧AB上，点Q在半径OB上．求矩形MNPQ面积最大值．这道题可不容易，同学们不知道怎样选择图4图5自变量好．如何列出函数式？即便列出了函数式求出最大值也决非易事．各自埋头演算起来，教室里静悄悄．片刻，教师着急起来，要求同学们抬起头听他讲．有少数几个人抬起头来，多数学生并不想听老师讲，还在埋头演算．虽然没几个学生抬起头来，但是教师还是讲起来了．显然，教学效果就很难保证了．2对教学过程的几点思考应该说这堂课并不差，这样的教学过程也许并不少见．教师进行了精心设计，从一个问题开始，通过一题多解、一题多变，实施“变式教学”，发挥开放题的作用，发展学生的思维能力；注意到数学教学是活动的教学，积极引导学生参与教学过程，让同学们活动起来．但是，笔者总觉得意犹未尽．2.1适时介入，捕捉思维教学的契机．在问题1的解答过程中，笔者以为还有许多“金子”可挖．比如，追问学生：“你怎么想到设∠AOD＝θ，用角做2自变量的？”“你怎么想到设AB＝x，用边长做自变量的？”“你的解法怎么这么巧，只要关注点B到直径AC的距离就可以了？”“你是怎么想到建立直角坐标系的？”等等，这是一些更值得关注的深层问题，是实施思维教学的极好材料．教学实践表明，在学生回答问题、板演、练习、作业等各种活动中，都存在思维教学的材料．教师适时介入，把这些活动背后的思维过程挖掘出来，不放过实施思维教学的契机，把思维活动引向纵深，推向高潮，提高思维的层次，发展思维能力．但是，这些来自学生的思维教学的丰富材料往往不被注意，白白流失了．因此，捕捉来自学生的思维材料用于课堂教学是教师的基本功．不仅解...
