最短路径问题VIP专享VIP免费

13.4课题学习最短路径问题前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题。引入新知如图，在小河l的两侧有A村和B村，要在小河l上修一个水泵站M,请你确定水泵站M的位置，使它到两个村庄的距离和最小.ABl作法：连结AB，交直线l于点M，则点M为水泵站的位置。问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAllC你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．C探索新知B··Al如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？思考：1、这个问题与前面“确定水泵位置”的问题有联系吗？2、如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？3、你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？探索新知B··AlC如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．B·lA·B′B′CC你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？问题：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．B·lA·B′B′CC证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．∵点B与B′关于直线l对称∴直线l垂直平分BB′∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．C′若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知追问：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？B·lA·B′B′CCC′运用新知1、如图，一个旅游船从P处前往山脚下接游客，然后将游客送往河岸上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．PP山脚山脚河岸河岸2、①八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A处。②如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。СÃ÷AСÃ÷A