第八章二元一次方程组学习新知检测反馈8.1二元一次方程组“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.你能用哪些方法解决这个问题呢?如果设两个未知数,能解决这个问题吗?想一想学习新知一、二元一次方程定义:上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.例：(补充)下列方程中,是二元一次方程的是()A.7x+3y=2B.xy=9C.x+2y2=11D.4=22x-y解析:本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程,故都不是二元一次方程.解析:本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程,故都不是二元一次方程.[解题策略]从以下三个方面整体理解二元一次方程的定义:(1)有两个未知数;(2)含有未知数的项的次数为1;(3)是整式方程.A知识拓展1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.2.理解二元一次方程的概念要特别注意对次数的要求是“含有未知数的项的次数为1”,不能理解为“每个未知数的次数都是1”,如xy+2=0就不是一个二元一次方程.算法展示:(1)算数方法:把兔子和鸡的脚数看成“相等”,则多出94-35×2=24只脚,每只兔子比鸡多出两只脚,由此可先求出兔子有24÷2=12(只),随后可算出鸡有35-12=23(只).类似地也可以先求鸡的数量:35×4-94=46(只),46÷2=23(只).(2)列一元一次方程:设有x只鸡,则有(35-x)只兔子.根据题意,得2x+4(35-x)=94.解方程可求出x=23.35-23=12(只).所以有23只鸡,12只兔子.解：设有x只鸡,有y只兔子.x+y=35,2x+4y=94.比较这两个方程与前面学过的一元一次方程,有什么不同呢?含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y必须同时满足方程:x+y=10,2①x+y=16.②把这两个方程合在一起,写成就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.=10=16x+y2x+y，，知识拓展例：(补充)下列方程组中,是二元一次方程组的为()A.B.C.D.C=5=3x+3y2x-3z=5=6m+nnm+n=1=163m+3nm2n+=101=62x-3y-5yx解析:本题主要考查二元一次方程组的定义.A选项共含有三个未知数;B选项中的未知数的最高次数是2;D选项中不全是整式方程,故都不是二元一次方程组.故选C.解析:本题主要考查二元一次方程组的定义.A选项共含有三个未知数;B选项中的未知数的最高次数是2;D选项中不全是整式方程,故都不是二元一次方程组.故选C.问题1下面哪些解既适合方程x+y=10,又符合问题的实际意义?〔解析〕由上表可知x=0,y=10;x=1,y=9;…;x=10,y=0使方程x+y=10两边的值相等,它们都是方程x+y=10的解.如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系,那么x=-1,y=11;x=0.5,y=9.5;…也都是这个方程的解.这说明二元一次方程除非有实际意义的限制或者特别的限制,否则这种方程有无数个解.〔解析〕由上表可知x=0,y=10;x=1,y=9;…;x=10,y=0使方程x+y=10两边的值相等,它们都是方程x+y=10的解.如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系,那么x=-1,y=11;x=0.5,y=9.5;…也都是这个方程的解.这说明二元一次方程除非有实际意义的限制或者特别的限制,否则这种方程有无数个解.问题2写出方程2x+y=16的几个解?〔解析〕例如x=0,y=16;x=1,y=14;x=5,y=6……都是2x+y=16的解.〔解析〕例如x=0,y=16;x=1,y=14;x=5,y=6……都是2x+y=16的解.问题3上述表格中的解,哪些或哪个是方程2x+y=16的解?〔解析〕x=6,y=4.〔解析〕x=6,y=4.问题4什么是二元一次方程组的解?〔解析〕一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.我们还发现,x=6,y=4既满足方程①,又满足方程②,也就是说,x=6,y=4是方程①与方程②的公共解,我们把x=6,y=4叫做二元一次方程组的解.这个解通常记作一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.〔解析...
