构造法——闪亮的思维火花VIP免费

构造法——闪亮的思维火花——海南省2012年中考试题第23题的解法赏析与教学思考摘要：海南省2012年中考试题第23题是以矩形为基本图形，综合三角形、四边形与图形变换等主干知识的一道“压轴题”。分析此题的解题思路和方法，指出构造法是一种创造性解题思维，是闪亮的思维火花。教学中应注意让学生体会构造法的数学思想和方法，培养学生的探究能力与创造性思维。关键词：构造法；中考试题；解法赏析；教学思考构造法就是根据题设条件或结论所具有的性质、特征，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。这个数学模型可以是一个图形、一个方程或者一个函数等。合理运用构造法可以在条件与结论之间架起一座“桥”，把一个复杂问题的条件明朗化，使问题获得简捷明了的解答方法，以下结合海南省2012年中考试题第23题第（3）小题的解答，赏析构造法在解题过程中的运用。一、试题分析海南省2012年中考试题第23题是以矩形为基本图形，综合三角形、四边形与图形变换等主干知识的一道“压轴题”，注重对数学思想方法与学生探究能力的考查。题目如图1（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN。（1）求证：△NDA≌△MBC。（2）连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形。四边形MFNE是菱形吗?试说明理由。（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图1（2）所示，若PQ＝CQ，PQ∥MN，且AB＝4cm，BC＝3cm，求PC的长度。此题设置3道小题，有非常明显的梯度——易、中、难，其中第（3）小题融数学主干知识PQ（2）ABCEDFNM（1）ABCEDFNM图1与核心数学思想方法于一体，具有较强的探索性，考查学生对数学主干知识与核心数学思想方法的深层次理解与掌握。第（3）小题只是在平时常见的图形——图1（1）上加上MN、PQ、CQ构成，“PQ＝CQ，PQ∥MN”这个条件让图形存在诸多的等量关系，解题途径多却很隐蔽。学生在中考时交出了很多精彩解答，限于篇幅，本文仅就第（3）小题中的运用构造法解题的这一方面进行分析。二、解法赏析在解第（3）小题的过程中能够求出线段BM、CN或DN、AM是解答此题的关键，而推敲出PC与BM、CN或PC与DN、AM之间的联系则是一个难点，使用普通的方法很难构建起它们之间的联系，倘若结合矩形的性质与“PQ＝CQ，PQ∥MN”，从条件向结论推理，再由结论倒过来做假设与猜想，可发现图形中存在着的许多等量关系，抓住等量关系就能找到解题的突破口。而“构造法”往往可以使数与形相结合，在条件与结论之间建立起一座桥梁，化繁为简，化未知为已知。因为线段PC的解法也非常丰富，故以下分析，在探究“线段BM、CN或DN、AM”解法的同时均采用不同的方法解答PC。解法1：如图2，由（2）知，DN=NF，∠D=∠NFA=90°。则∠NFC=90°。因为∠DCA=∠FCN，所以△CDA∽△CFN。所以。又因为AC==5cm，设DN=x，则NF=x，CN=4-x。则。解得x=1.5。则有NF=DN=BM=1.5cm，NC=2.5cm。作QG⊥CD于点G，则BQ=CG=PG。因为PQ∥MN，CD∥AB，所以NP=MQ。所以PG=NC-（NP+GC），即PG=NC-BM=1cm。PQ图2ABCEDFNMG又因为PQ=CQ，所以PC=2PG=2cm。【探究与拓展】解法1利用△CDA与△CFN相似，对应线段的比相等构造方程，未知数的引入抓住了解题的关键，使求解BM与NC的值的过程大大简化。在求线段PC的长度时，通过作QG⊥CD构造直角三角形，利用勾股定理求解。分析解答的过程，抓住图形中存在的等量关系也是求解的重点——PG=NC-BM。求线段PC的长度时，也可以向外添加辅助线构造平行四边形与直角三角形。如图3，过点C作CK∥PQ，交AB的延长线于点K，发现图形中存在的等量关系有NP=MQ、PC=QK、QB=BK、NC=MK等，易得BK=MK-BM，PC=QK=2BK=2BQ。求线段PC的思路水到渠成。在此，构造法在解题的过程中处处显示出它的优点。PQ图4ABCEDFNMHGPQ图3ABCEDFNMK解法2：如图4，设BM=x，则ME=BM=x，AM=4-x。因为AC==5cm，所以AE=5-3=2cm。因为∠CEM=∠B=90°，所以∠AEM=90°。所以△MEA是直角三角形。所以（4-x）2-x2=22。解得x=1.5。所以DN=BM=1.5cm。过点N作NH⊥AB于点H，则AH=DN=BM=1.5cm。所以MH=1cm。因为PQ∥MN，又因为CD∥AB，所以MN=PQ...