《三维设计》高三数学 第2章 第9节 课时限时检测 新人教A版VIP免费

《三维设计》届高三数学第2章第9节课时限时检测(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定[解析：由题意，知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f(－1)·f(1)符号不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.答案：D2．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)()A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：∵函数f′(x)＝－，∴x∈(3∞，＋)时，y＝f(x)单调递增；x∈(0,3)时，y＝f(x)单调递减．而0＜＜1＜e＜3，又f()＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，∴在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点．答案：D3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个．答案：C4．若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分()A．5次B．6次C．7次D．8次解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长…为，，第n次二等分后区间长为.依题意得<0.01，∴n>log2100.由于6f2(x1)，所以f(x1)＝f1(x1)－f2(x1)>0，即f(x1)的值恒为正值．答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(·厦门质检)若函数f(x)＝ex＋2x－6(e≈2.718)的零点属于区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.解析：可估算两相邻自然数的函数值，f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，从而可知函数f(x)的零点位于区间(1,2)内，故n＝1.答案：18．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：令g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)＝ax－x－a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．答案：(1∞，＋)9．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，则实数m的值为________．解析：由题知：方程4x＋m·2x＋1＝0只有一个零点．令2x＝t(t>0)，∴方程t2＋m·t＋1＝0只有一个正根，∴由图象可知∴m＝－2.答案：－2三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，∴g(0)·g()<0.又函数g(x)在[0，]上连续，所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.11．判断方程3x－x2＝0的负实数根的个数，并说明理由．解：设f(x)＝3x－x2，∵f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，又∵函数f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的，∴函数f(x)在(－1,0)内有零点．又∵在(∞－，0)上，函数y＝3x递增，y＝x2递减，∴f(x)在(∞－，0)上是单调递增的，∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点．因此方程3x－x2＝0只有一个负实数根．12．若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．解：由题意可知f′(x)＝3ax2－b，(1)于是解得故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(∞－，－2)－2(－2,2)2(2∞，＋)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减－单调递增因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；当x＝2时，f(x)有极小值－.所以函数的大致图象如图．故实数k的取值范围是－＜k＜.