第6章第4节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．设a、b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：()2≤，则p是q成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然，p⇒q，但q¿p，则p是q的充分不必要条件．答案：B2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2·－2＝－4，等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.答案：C3．函数y＝(x>1)的最小值是()A．2＋2B．2－2C．2D．2解析：∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2·＋2＝2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．答案：A4．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy()A．有最大值eB．有最大值C．有最小值eD．有最小值解析：∵x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，∴lnx·lny≤＝2，∴lnx＋lny≥1⇒xy≥e.答案：C5．若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是()A.B．1C．4D．8解析：由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得.≥故＋＝＝＝＝4.当且仅当a＝b“”＝时上式取＝．答案：C6．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(00)，若f(x)在(1∞，＋)上的最小值为4，则实数p的值为________．解析：由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时，取等号，则2＋1＝4，解得p＝.答案：9．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是______．解析：由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或者t≥3，故xy的最小值为18.答案：18三、解答题(共3个小题，满分35分)10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值．解：(1)∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×[]2＝，当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.(2)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.≥则＋＝＝2.∴(＋)min＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．11．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得.(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.12．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需用大米1t，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20t时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．解：设该食堂每隔x天购买一次大米，则每次购买xt，设每吨每天所支付的费用为y元，则(1)y＝[1500x＋100＋2(1＋2…＋＋x)]＝x＋＋1501≥1521，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．故该食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．(2)y＝[1500x·0.95＋100＋2(1＋2…＋＋x)](x≥20)＝x＋＋1426，函数y在[20，＋∞)上为增函数，∴y≥20＋＋1426＝1451.而1451＜1521，故该食堂可接受粮店的优惠条件．
