第三十六讲直接证明与间接证明班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1“．命题对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”“的证明：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法“”解析：因为证明过程是从左往右，即由条件⇒结论．故选B.答案：B2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2…，)“，试证：数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为()A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn≤xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0“解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1”“的否定为存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选B.答案：B3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1≤－0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.答案：D4．已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是()A.<1B．a2>b2C．|a＋b|>|a－b|D.>解析：<1⇔<0⇔a(a－b)>0.∵a>b，∴a－b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a－b)>0不一定成立，即A不一定成立；a2>b2⇔(a－b)(a＋b)>0，∵a－b>0，只有当a＋b>0时，a2>b2才成立，故B不一定成立；|a＋b|>|a－b|⇔(a＋b)2>(a－b)2⇔ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；由于>⇔>0⇔(a－b)·a2b2>0.∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确．故选D.答案：D5．(·杭州市模拟)已知函数f(x)＝x，a，b∈(0∞，＋)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：因为当a，b∈(0∞，＋)≥≥时，，且函数f(x)＝x，在R上为减函数，所以A≤B≤C，故选A.答案：A6．设02>.∵(1＋x)(1－x)＝1－x2<1，又00.∴1＋x<.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7“”．否定任何三角形的外角都至少有两个钝角其正确的反设应是________．解析：本题为全称命题，其否定为特称命题．答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角8．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．解析：y2＝()2＝a＋b＝>＝x2.答案：xa＋b，则a、b应满足的条件是________．解析：∵a＋b>a＋b⇔(－)2·(＋)>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知a，b，c是不等正数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.证明：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋.12．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求证：≤＋2.证明：要证≤＋2.只要证：a＋＋b＋＋2≤4，∵由已知知a＋b＝1，故只要证：≤1，只要证：(a＋)(b＋)≤1，只要证：ab≤，∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴ab≤，故原不等式成立．13．(精选考题·浦东模拟)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边．求证：＋＝.解：要证明＋＝，只需证明＋＝3，只需证明＋＝1，只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需证明c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°，则余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命题成立，得证．
