3抛物线及其性质考点一抛物线的标准方程1
(湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=
(大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|
(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程
解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+
由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2
所以C的方程为y2=4x
(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0)
代入y2=4x得y2-4my-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4
故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1)
又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3
将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0
设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3)
故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=
(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0
(12分)考点二抛物线的几何性质
