几种特殊的抽象函数在某点处的导数探究案例：几种特殊的抽象函数在某点处的导数的求法由于新课程标准对《导数》这一章内容概念的理解加大了力度，在一些课外参考书中也很少提到抽象函数在某点处的导数的求法；本文主要通过导数的定义研究抽象函数在某点处的导数的求法；进一步帮助同学们加深理解导数定义。下面以4种常见类型的抽象函数为例：一、形如f(x+y)=f(x)+f(y)类型例1、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f′(0)=2,求当x=a时，f′(a)的导数.解：令x=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)中，得f(0)=0由导数的定义，f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx=limΔx→0f(a)+f(Δx)−f(a)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx=limΔx→0f(0+Δx)−0Δx=limΔx→0f(0+Δx)−f(0)Δx=f′(0)=2所以，f′(a)=f′(0)=2练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f′(0)=0,求当x=e时，f′(e)的导数.(答：2e)二、形如f(x+y)=f(x)·f(y)类型例2、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f′(0)=1,f(1)=e,求当x=2时，f′(2)的导数.解：令x=0,代入f(x+y)=f(x)·f(y)中，得f(0)=1；再令x=y=1代入f(x+y)=f(x)·f(y)中，得f(2)=e2由导数的定义，f′(2)=limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx=limΔx→0f(2)f(Δx)−f(2)Δx=f(2)limΔx→0f(Δx)−1Δx=limΔx→0f(0+Δx)−f(0)Δx=f(2)limΔx→0f(0+Δx)−f(0)Δx=f(2)·f′(0)=e2所以，f′(2)=e2练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)-xy,且f(x)>0,f(1)=2f′(0)=1,求当x=2时，f′(2)的导数.(答：4)三、形如f(x·y)=f(x)+f(y)类型例3、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x·y)=f(x)+f(y),且f′(1)=1,求当x=2时，f′(2)的导数.解：令x=y=1代入f(x·y)=f(x)+f(y)中，得f(1)=0由导数的定义，f′(2)=limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx=limΔx→0f[2(1+Δx2)]−f(2)Δx=limΔx→0f(2)+f(1+Δx2)−f(2)Δx=limΔx→0f(1+Δx2)Δx=limΔx→0f(1+Δx2)+0Δx=limΔx→0f(1+Δx2)+f(1)Δx=12limΔx→0f(1+Δx2)+f(1)Δx2=12f′(1)=12所以，f′(2)=12练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(xy)=f(x)-f(y),且f′(1)=1ln2,求当x=e时，f′(e)的导数.(答：1eln2)四、形如f(x·y)=f(x)·f(y)类型例4、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x·y)=f(x)·f(y),且f(2)=4，f′(1)=2,求当x=2时，f′(2)的导数.解：令x=1代入f(x·y)=f(x)·f(y)中，得f(1)=1，由导数的定义，f′(2)=limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx=limΔx→0f[2(1+Δx2)]−f(2)Δx=limΔx→0f(2)f(1+Δx2)−f(2)Δx=f(2)limΔx→0f(1+Δx2)−1Δx=f(2)limΔx→0f(1+Δx2)−f(1)Δx=12f(2)limΔx→0f(1+Δx2)+f(1)Δx2=12f(2)f′(1)=4所以，f′(2)=4练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x·y)=2f(x)·f(y),且f(2)=2,f′(1)=1,求当x=2时，f′(2)的导数.(答：2)五、归纳小结通过常见的几种特殊的抽象函数类型，分别利用导数的定义研究了抽象函数在某点处的导数求法；在这里主要强调了导数的定义的求解方法；以上的求解方法都不是唯一的，比如说，每种类型的特殊函数是可以根据题意选定特殊的函数来替代，写出y=f(x)的解析式，再去求某点处的导数，方法也简单，同仁们不妨试试看，研究一下，绽放你的思维火花；抽象函数的形式有很多，值得大家去研究，是一件非常好的事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，让成功的喜悦和大家一起分享。
