平面直角坐标系根据点的坐标特征和几何图形求点的坐标，既是考试的热点，也是本节的重点难点，由于点的坐标是学习平面直角坐标的基础，是研究函数图像的起点，是函数性质研究的基础，为此考试中经常出现．核心知识一、平面直角坐标系及相关概念1．平面直角坐标系：为了用一对实数表示平面内的点，在平面内画两条互相垂直的数轴组成平面直角坐标系；2．x轴（横轴）：平面直角坐标系中水平的数轴，取向右为正方向；3．y轴（纵轴）：平面直角坐标系中铅直的数轴，取向上为正方向；4．横坐标、纵坐标、坐标：平面直角系内的点向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标叫这个点的横坐标，向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标叫这个点的纵坐标，合起来称为这个点的坐标．二、点的坐标特征1．x轴上的点M（a，b）的特征：b＝0．2．y轴上的点M（a，b）的特征：a＝0．3．象限内点M（a，b）的特征：①M在第一象限a＞0，b＞0；②M在第二象限a＜0，b＞0；③M在第三象限a＜0，b＜0；④M在第四象限a＞0，b＜0．三、对称点的坐标特征1．若M（a，b）和N（a，b）关于x轴对称：a＝a，b＋b＝0；2．若M（a，b）和N（a，b）关于y轴对称：a＋a＝0，b＝b；3．若M（a，b）和N（a，b）关于原点对称：a＋a＝0，b＋b＝0．四、点与点、点与线之间的距离1．点M（x0，y0）到原点的距离：r＝x02＋y02；2．点M（x0，y0）到x轴的距离：r＝|y0|；3．点M（x0，y0）到y轴的距离：r＝|x0|；4．点M（x1，y1）与M2（x2，y2）之间的距离：r＝（x1－x2）2＋（y2－y1）2．特别地：若x1＝x2，则r＝|y2－y1|；若y1＝y2，则r＝|x2－x1|．典型例题：例1点P（a，b）位于y轴左方，x轴下方，且a2＝3，|b－1|＝4，写出P点坐标．分析：确定一个点的坐标，先要确定横、纵坐标的符号，再根据该点与x轴和y轴的距离从而确定其坐标．本例先确定a、b的符号，再求a、b的值．解：由a2＝3，得a＝±3．由|b－1|＝4，得b＝5或－3．∵p（a，b）在y轴左方，x轴下方．∴p（a，b）是第三象限的点，a＜0，b＜0，∴a＝－3，b＝－3，故p（－3，－3）．例2如果A（－a，－b）在第四象限内，求A点关于x轴，y轴，原点对称的点坐标，且A点到原点的距离．解：设Ax（x1，y1）设Ay（x2，y2），A0（x0，y0）与A点关于x轴，y轴和原点对称则：x1＝－ax2＝－（－a）x0＝－（－a）＝ay1＝－（－b）＝by2＝－by0＝－（－b）＝b∵Ax（－a，b），Ay（a，－b），A0（a，b）．由A到x轴，y轴的距离分别为|－b|，|1－a|连接AO，则AO＝|－a|2＋|－b|2＝a2＋b2（如图13-1）．例3求半径为5，圆心坐标为P（2，0）的圆与两坐标轴的交点坐标（如图13-2）．解：圆心P的坐标为P（2，0），P点在x轴上，故圆与x轴的两交点的坐标为（－3，0），（7，0），令圆与y轴正方向的交点为A，边AP，由勾股定理得：OA＝AP2－OP2＝52－22＝21，∴圆与y轴两交点坐标为（0，21）和（0，－21）．注意：求点的坐标要根据点所在位置的特征，如在x轴上，纵坐标为零；在纵坐标上，其横坐标为零．例4已知平行四边形的三个顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，3）．求第四个顶点C的坐标．解：如图13-3，作BD⊥x轴于D点．则OB＝OD2＋DB2＝12＋(3)2＝2，同理AB＝2，若OA、OB为两邻边，则C在第一象限，∵OACB为平行四边形，OA＝BC．∴C点坐标为C（3，3）；若BO、BA为两邻边，则C（1，－3）；若AO、AB为两邻边，则C（－1，3）例5以点P（1，2）为圆心的圆满足下列条件时，分别求出其半径r的以值范围．（1）与坐标轴有唯一交点；（2）与坐标轴有两上交点；（3）与坐标轴有三个交点；（4）与坐标轴有四个交点．分析：本例要画出图形，注意数形结合，当与坐标轴只有一个交点时，圆与一个坐标轴相切，与另一坐标轴没有公共点如图13-4A；圆与坐标轴有两个交点，则只与一个坐标轴相交，与另一个坐标轴无公共点，如图13-4B；圆与坐标轴有三个交点，圆与每个坐标轴除一个交点外，另外必须经过原点，如图13-4C；圆与坐标轴有四个交点，则与每个坐标轴有两个交点，且不经过原点，如图13-4D．要求半径范围，则要求P到原点距离及到两坐标轴的距离．解：P点到y轴的距离为1，到x轴的距离为2，到坐标原点的距离为，∴r＝1，⊙P与坐标轴有一个交点；1＜r＜5时，⊙P与坐标轴有两个交点；r＝5时，⊙P与坐标轴有三个交点；r＞5时，⊙P与坐标轴有四个交点．
