第1页，共8页中国矿业大学2010～2011学年第1学期研究生《矩阵论》试卷参考答案一（15分）、设100031011A，（1）求可逆矩阵P使得1PAPJ，其中J为A的Jordan标准形；（2）计算teA；（3）求微分方程组Td()(),(0)1,1,1dtttxAxx的解。解：（1）2(1)(2)IA1002011011IA，rank(2)2IA，dim(2)321NIA故A的Jordan标准形为1212J记123[,,]P，由11212PAPJ得112232322AAA1231000,1,0011100010011P（不唯一）,11212PAPJ第2页，共8页（2）根据222tJtttteeetee得1AtJtePeP222100100010010011011tttteetee2222000(1)0(1)ttttteetteteet（3）22()(0)tttteteeeAxx二（15分）、设110121011A，111b（1）求A的满秩分解AFG；（2）求A的广义逆矩阵A；（3）求Axb的最小2－范数最小二乘解LSx。解：（1）111011201001AFG（不唯一）（2）51411219415A（3）12291LSxAb第3页，共8页三（15分）、设T1234(,,,)aaaaα是给定的常向量，24()ijxX是矩阵变量，计算Td()dXαX和d()dXαX。解由111212313414121222323424axaxaxaxXaxaxaxax111212313414121222323424(),TXaxaxaxaxaxaxaxax得2423222114131211)()()()()()()()()(xXxXxXxXxXxXxXxXdXXdTTTTTTTTT1234123400000000aaaaaaaa而2423222114131211)()()()()()()()()(xXxXxXxXxXxXxXxXdXXd1234123400000000aaaaaaaa四（15分）、设112120A，333b（1）用Gram-Schmidt正交化方法求矩阵A的QR分解；（2）根据A的QR分解求Axb的最小二乘解。解：（1）记12[,]A，则由Gram-Schmidt正交化方法第4页，共8页11122，1232122111112(,)11121(,)33022，221上两式改写为11212121211(,)1(,)3即1122121221222211/311/3[,][,],0101123112101322QR（2）TRxQb112234/331122513101212133xxxx五（10分）、设矩阵()nnijaAR为对称矩阵，并满足1(1,2,,)niiijjjiaain证明A是正定矩阵。证首先A的特征值都是实数。由盖氏圆盘定理，对A的任一特征值，必有某个i，使得第5页，共8页1niiijjjiaa从而0iiiiaa六（10分）、设()|(1)0,()[]nWfxffxxR，这里[]nxR为实数域上次数不超过n的多项式全体。（1）证明W是[]nxR的子空间；（2）求W的一组基和维数。证：（1）1,xWW(),()fxgxW，则(1)(1)0fg，从而12()()(),(1)0,()hxkfxkgxhhxW（2）01(),(1)0nnfxaaxaxWf01naaa212()(1)(1)(1)nnfxaxaxax下面证明2(1),(1),,(1)nxxx线性无关。如果212(1)(1)(1)0nnkxkxkx则21212()0nnnkkkkxkxkx120nkkk所以W的一组基是2(1),(1),,(1)nxxxdim1Wn。七（10分）、设mnrAR的奇异值分解（SVD）为第6页，共8页T12,=diag(,,,)rrnΣUAVΣ000这里符号的含义及约定与教材一致。（1）证明12A；（2）根据A的SVD写出广义逆A表达式；（3）证明齐次方程组Ax0的通解为(),nnxIAAyyR证（1）000rTAUV21000diag(,,)000000rrTTTTTrrAAVUUVVVVVmax12()TAAA（2）1rrTTTrOIOOIAAIVUUVIVVOOOOOOrTTnrOOIOVIVVVOIOO所以rank()nIAAnr。下面只需再证()nIAA的列都是0Ax的解，即证()nAIAAO这由A的定义立即得。八（10分）、设(2)nn阶矩阵TAIuv（其中0,nuvR）（1）证明A的最小多项式是()(1)[(1)]TmvuA（2）求A的Jordan标准形（需要讨论）。证第7页，共8页（1）记TBuv，则rank()1B,AIB，易验证2()()TBmvu于是()[()][()(1)]TAmAIBIIBvuI[()]TBBvuIO又对任意的一次多项式()gc()gAAcIO这是因为，如果AcIO，即(1)BcI当1c时，BO，矛盾。当1c时，rank()Bn与rank()1B矛盾。综上A的最小多项式是()(1)[(1)]TmvuA（2）参考以前考题当0Tvu时，B的Jordan标准形为00T从而AIB的Jordan标准形为111Tvu当0Tvu时，B的Jordan标准形为00010从而AIB的Jordan标准形为11111
