常见递推数列类型以及应用VIP专享VIP免费

2014-2015学年高二数学培尖资料2014-2015学年高二数学培尖资料-------高考数学递推数列题型归纳解析类型1递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例1：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以例2：数列的前项和为，且，，求的值及数列的通项公式；分析：由，，n=1，2，3，……，得，，，由（n≥2），得（n≥2），又=，所以(n≥2),∴数列的通项公式为；总结：这个类型主要用到公式，在时很容易犯错误，需要注意。变式:(05,江西,文,已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：，，两边同乘以，可得令12014-2015学年高二数学培尖资料…………又，，，。类型2解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，例2:数列且,求数列的通项.分析:注意到左右两边系数与下标乘积均为,将原式两边同除以,变形为,可转化为类型一求解.下略.变式:（2004，全国I，理22．本小题满分14分）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.解：，22014-2015学年高二数学培尖资料，即，…………将以上k个式子相加，得将代入，得，。经检验也适合，类型3解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。,例1:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例2:数列的通项.解:变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得32014-2015学年高二数学培尖资料类型4（其中p，q均为常数，）用待定系数法,构造一个公比为p的等比数列,令,,从而{}是一个公比为p的等比数列.例1:(06，重庆,文)已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型5:递推式：例1:已知数列中，,，求。法一：在两边乘以得：令，则,解之得：所以法二:在两边除以得:,令,则有,采用逐差求和法可得3所以法三:待定系数法:设,则所以令,则,所以变式:(07天津)在数列中N,其中.求数列的通项公式.【解析】由N可得所以为等数列，其公差为1，首项为0.故42014-2015学年高二数学培尖资料所以数列的通项公式为类型6解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例1:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.变式:（2008年广州一模19题）已知数列中，且（且）．（1）若数列为等差数列，求实数的值；（2）求数列的前项和．解：（1）方法1： ，∴，．设，由为等差数列，则有．∴．∴．解得．事实上，，综上可知，当时，数列为首项是、公差是1的等差数列．52014-2015学年高二数学培尖资料方法2： 数列为等差数列，设，由为等差数列，则有∴．∴．综上可知，当时，数列为首项是、公差是1的等差数列．（2）由（1）知，，∴．∴．即．令，①则．②②－①，得．∴．类型7解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛｝中，，求数列解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。变式:（06山东理）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；（3）记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（Ⅰ）由已知，，两边取对数得，即是公比为2的等比数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞...