三角形、四边形的证明与计算石河子第三中学刘亚南考点、热点分析1.了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．了解四边形的不稳定性；2.掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）；了解中心对称图形及其基本性质；3.掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；4.了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论5.进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。6.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。7.经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。8.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。【例1】已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．∵AB=CD，BC=AD∴四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠BAE=∠DCF又∵AE=CF∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AB=CD，∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形∴AD=CD∵AC平分∠BAD∴∠BAE=∠DAF∵∠BAE=∠DCF∴∠DAF=∠DCF∴四边形ABCD是菱形．【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角.实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明．DCBA①如图所示②证明：∵AB=AC，AM平分∠CAD∴∠B=ACB∠，∠CAD=2CAM∠∵∠CAD是△ABC的外角∴∠CAD=B+ACB∠∠∴∠CAD=2ACB∠∴∠CAM=ACB∠∴AFCE∥∵EF垂直平分AC∴∠FAO=ECO,OA=OC,∠∠AOF=COE∠，∴AOFCOE≌△∴AF=CE在四边形AECF中，AFCE∥，AF=CE∴四边形AECF是平行四边形又∵EFAC⊥∴四边形AECF是菱形【例3】已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AEBC∥，CE⊥AE；垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．【例4】在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.（1）四边形EGFH是平行四边形．证明：∵ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是ABCD的对称中心．∴EO=FO，GO=HO．∴四边形EGFH是平行四边形（2）菱形（3）菱形（4）四边形EGFH是正方形．∵AC=BD，∴ABCD是矩形．又∵AC⊥BD，∴ABCD是菱形．∴ABCD是正方形，∴∠BOC=90°∠GBO=∠FCO=45°OB=OC．∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．由（1）知四边形EGFH是平行四边形又∵EF⊥GH，EF=GH.∴四边形EGFH是正方形．【例5】如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．（1）如果①：求证∠AFD=EBC∠；（2）如图②，若DE=EC且BEAF⊥，求∠DAB的度数；（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DC=CB，在△DCE和△BCE中，DC＝CBDCE∠＝∠BCEEC＝EC，∴△DCEBCE≌△（SAS），∴∠EDC=EBC∠，∵DCAB∥，∴∠EDC=AFD∠，∴∠AFD=EBC∠；（2）解：∵DE=EC，∴∠EDC=ECD∠，设∠EDC=ECD=CBE=x°∠∠，则∠CBF=2x°，由BEAF⊥得：2x+x=90°，解得：x=30°，∴∠DAB=60°；DCBAEF(3)∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB，设∠BEF=EBF=x°∠，则有∠AFD=2x°，可证得：∠AFD=FDC=CBE∠∠，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°，综上：∠EFB=30°或120°．BDCAEF课堂小结•知识在线：加深了对考点的认识；熟悉了解决问题的常用方法•思想方法：分类讨论；转化思想
