一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD， OD=OA，∴∠ODA=∠A， 四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中，OEODEOCDOCOCOC∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）由（1）知CD是圆O的切线，∴△CDO为直角三角形， S△CDO=12CD•OD，又 OA=BC=OD=4，∴S△CDO=12×6×4=12，∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．2．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME．求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．详解：证明：（1）连接OC， HC=HG，∴∠HCG=∠HGC； HC切⊙O于C点，∴∠OCB+∠HCG=90°； OB=OC，∴∠OCB=∠OBC， ∠HGC=∠BGF，∴∠OBC+∠BGF=90°，∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；（2）连接BE，由（1）知DE⊥AB， AB是⊙O的直径，∴，∴∠BED=∠BME； 四边形BMDE内接于⊙O，∴∠HMD=∠BED，∴∠HMD=∠BME； ∠BME是△HEM的外角，∴∠BME=∠MHE+∠MEH，∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，ABCD．（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：△ABE≌△DCE；（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）833．【解析】分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所以BECE，则弦相等；（2）根据SSS证明△ABE≌△DCE；（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），则∠OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长．本题解析：（1）解：BE=CE，理由： ∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，∴∠BCE=∠EAC，∴BECE，∴BE=CE；（2）证明： ABCD，∴AB=CD， BECE，AEED，∴AE=ED，由（1）得：BE=CE，在△ABE和△DCE中， AEDEABCDBECE，∴△ABE≌△DCE（SSS）；（3）解：如图， 过O作OG⊥BE于G，OH⊥BC于H，∴BH=12BC=12×8=4，BG=12BE， BE=CE，∠EBC=∠EAC=60°，∴△BEC是等边三角形，∴BE=BC，∴BH=BG， OB=OB，∴Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），∴∠OBH=∠GBO=12∠EBC=30°，设OH=x，则OB=2x，由勾股定理得：（2x）2=x2+42，x=433，∴OB=2x=833，∴⊙O的半径为833．点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.4．如图，在Rt△ABC中，90C，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析（2）233【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥A...
