原命题pq若则否命题┐p┐q若则逆命题qp若则逆否命题┐q┐p若则互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互高二数学四种命题间的相互关系与反证法教学目的：1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假奎屯王新敞新疆2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想奎屯王新敞新疆教学重点：理解四种命题的关系奎屯王新敞新疆教学难点：逆否命题的等价性奎屯王新敞新疆授课类型：新授课教学过程：一、复习提问：1．四种命题的相互关系2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假：原命题与其逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假练习1、写出下列命题的否定形式和命题的否命题（1）自然数的平方是正数（2）若x2+y2=0,则x，y全为零分析：（1）否定形式：自然数的平方不是正数否命题：若a不是自然数，则它的平方不是正数（2）否定形式：若x2+y2＝0，则x,y不全为零否命题：若x2+y2≠0，则x,y不全为零练习5、写出下面命题的等价命题：（1）圆内接四边形的对角互补（2）若x=1或x=-3,则x2+2x-3=0分析：就是写出这么命题的逆否命题（1）对角不互补的四边形不是圆内接四边形（2）若x2+2x-3=0，则x=1或x=-33．初中时我们已经学习过反证法，那什么叫反证法呢？从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。二、反证法用心爱心专心【例1】证明是无理数。分析：要证不是一个有理数，直接去证明有困难，可以转化为证明命题是有理数为假命题。——正难则反的思想证明：假设是有理数，则可以表示为＝p/q(其中p、q是不可约的整数)两边平方后得到：2＝p2/q2即p2＝2q2∴p2是偶数，从而p也是偶数于是q2=p×p/2是偶数,∴q也是偶数从而得到矛盾所以假设不成立，所以是无理数。思考与归纳：(1).“是无理数”，“不是无理数”两个命题之间有何关系？——不具备互逆、互否、互为逆否关系，而是其中一个对另一个的否定。即对“是有理数”的肯定判断与否定判断。亦即：p:是有理数。p:是无理数。(2).要证命题p为真，通过证明命题p为假，从而肯定命题p为真的证明方法称反证法。它的逻辑关系是：命题“若p则q”的否定是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若p则q”为真。(3)反证法证题的一般步骤是：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立——反设②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾——归谬（反设+条件矛盾）③由矛盾的产生可以判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确——否定假设，肯定结论。【例2】证明：如果那么证明：假设则所以即a≤b与已知矛盾所以假设不成立∴注：1。用反证法证题时，应注意结论的反面有几种情形，可否统一处理。如果不能统一处理，则需分类讨论，一一归谬，才能肯定原结论成立。2．【例3】若p1p2=2(q1+q2)，证明：关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中，至少有一个方程有实数根。证明：假设两个方程都没有实数根，则Δ1<0,Δ2<0从而Δ1＋Δ2<0…………………………………………………………①又Δ1＋Δ2＝（p12－4q1）+（p22－4q2）=p12+p22－4(q1+q2)由已知p1p2=2(q1+q2)可知Δ1＋Δ2＝p12+p22－2p1p2=(p1+p2)2≥0，这样①相矛盾，所以假设不成立所以所给的两个方程中至少有一个有实数根点评：对于证结论是“至少……”，或“至多……”“存在。。。。”“不。。。”的命题，宜用反证法【例4】若p>0,q>0,p3+q3=2,用反证法证明p＋q≥2证明：假设p＋q<2则4（p3＋q3）＝8<(p+q)34(p+q)(p2-pq+q2)<(p+q)3由于p>0,q>0，则p＋q>0用心爱心专心4(p2-pq+q2)<(p+q)2整理得到（p－q）2<0矛盾所以p＋q≥2三、归纳小结1．初步理解反证法的理论依据是原命题与其逆否命题的等价性。初步掌握用反证法证题的一般步骤。2．正难则反的思想3．对于证明结论是“至少……”，或“至多……”的命题，宜用反证法用心爱心专心
