第五章实数与向量的积教学设计示例第二课时三一．教学目标1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．二．教学重点：平面向量基本定理教学难点：理解平面向量基本定理．三．教学具准备直尺、投影仪．四．教学过程1．设置情境上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．2．探索研究师：向量与非零向量共线的充要条件是什么？生：有且仅有一个实数，使得师：如何作出向量？生：在平面上任取一点，作，，则师：对！我们知道向量是向量与的合成，、也可以看做是由向量的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．说明：①实数，的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理．②对该定理重在使用．下面看例题【例1】已知向量、，求作．1【例2】如图所示，的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和？解：在中∵∴说明：①这些表示方法很常用，要熟记②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是、，由它可以“生”成，，……．【例3】如图所示，已知的两条对角线与交于，是任意一点，求证证明：∵是对角线和的交点∴，．在△中，同理：相加可得：注：本题也可以取基本向量，，，，利用三角形中线公式（向量），得两种表示方式：①②①＋②得证毕．【例4】如图所示、不共线，（），用，表示．解∵∴2说明：①本题是个重要题型：设为平面上任一点．则：、、三点共线或令，则、、三点共线（其中）②当时，常称为△的中线公式（向量式）．3．演练反馈（1）命题：向量与共线；命题：有且只有一个实数，使；则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件（2）已知和不共线，若与共线，则实数的值等于____________．（3）如图△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值．参考答案：（1）B（2）（3）解：（如图）设，，则，，∵、、和、、分别共线，∴存在、，使，．故，而．∴由基本定理得∴∴，即4．总结提炼（1）当平面内取定一组基底，后，任一向量都被、惟一确定，其含义是存在惟一这数对，使，则必有且．3（2）三点、、共线（其中且）五．板书设计4实数与向量的积平面向量基本定理例2例4例1例3练习
