平面向量知识网络平面向量结构简图画龙点晴概念标量:只有大小不计方向的量叫做标量.向量：既有大小又有方向的量叫做向量。零向量：长度为零的向量叫做零向量,记作0,零向量没有确定的方向。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量的模:向量a的大小(或长度)叫做向量的模,记作|a|.负向量:与已知的向量a的模相等且方向相反的向量叫做已知向量a的负向量,记作-a.自由向量:只有大小和方向而无特定位置的向量叫做自由向量.有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点,B为终点的有向线段记作AB.起点、方向、长度是有向线段的在要素。用心爱心专心用有向线段表示向量：已知向量a与有向线段AB.当|a|=|AB|且a与AB同向时,向量a可用有向线段AB表示,叫做向量AB.向量加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。向量加法的平行四边形:平面上任意两个向量a、b，从同一点O出发分别作向量OA=a，OB=b，以OA、OB为一组邻边作平行四边形OACB，则平行四边形的对角线OC所代表的向量OBOAOC=a+b。向量加法的三角形法则:平面上任意两个向量a、b，任取一个起点O，从O出发作向量OA=a，再从A出发作向量AB=b，则OB=OA+AB=a+b。说明：(1)“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点；(2)可以推广到n个向量连加，和向量就是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量；(3)aaa00；(4)不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则.向量的加法运算律:(1)交换律：a+b=b+a;(2)向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).向量的减法:平面上任意两个向量a、b，从同一点O出发分别作向量OA=a，OB用心爱心专心=b，作向量BA,则向量BA叫做向量a与b的差,记作a-b,即BA=a-b.[活用实例][例1]试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。[题解]由向量加法法则：AB=AO+OB,DC=DO+OC由已知：AO=OC,DO=OB∴AB=DC,即AB与CD平行且相等∴ABCD为平行四边形.[例2]在正六边形中，若OA=a,OE=b，试用向量a、b将OB、OC、OD表示出来。[题解]设正六边形中心为P，则OAOEOAPBOPOB)(a+b+aPCOPOCa+b+a+b由对称性：OD=b+b+a。[例3]设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：(1)CDBCAB;(2)BDACDB;(3)COOBOCOA.[题解](1)原式=ADCDACCDBCAB)(;(2)原式=ACACACBDDB0)(;用心爱心专心ABDCOABOPCEF(3)原式=ABABCOOCABCOOCOAOB0)()()(.实数与向量的积:一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa；它的长度与方向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|；（2）当λ〉0时，λa的方向与a的方向相同；当λ〈0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0,并且满足|λa|=|λ||a|.其中实数λ叫做a的系数.实数与向量的积的运算定律：结合律：λ(μa)=(λμ)a;第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.平行向量：当两个非零向量的方向相同或相反时，称这两个向量是平行向量,也称共线向量.单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.向量a的大小由|a|表示而它的方向可由||aa表示.向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ,使b=λa.[活用实例][例4]O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足),,0[),||||(ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心[题解]||||ACACABAB、分别表示直线AB、AC上的单位向量，它们的和向量||||ACACABAB平分BAC，所以原题转化为),0[),||||(当ACACABABAP时，它表示以A为顶点，终点P在BAC上的所有向量，所以点P的轨迹过ABC的内心.故选B.[例5]如图：已知MN是△ABC的中位线，求证：MN=21BC,且MN∥BC.用心爱心专心ABCNM[题解] MN是△ABC的中位线，∴ABAM21,ACAN21∴BCABACABACAMANMN21)(212121∴MN=21BC,且MN∥BC.[例6]设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb(kR)，若c∥d，试求k.[题解] c∥d∴由向量共线的充要条件得：c=λd(λR)即：ka+b=λ(a+kb)∴(k...
