高中数学选修本(理科)复合函数的导数(3)VIP免费

复合函数的导数一、学习目标理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y＝sin（tanx2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y＝sin43xcos34x的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式．例3求y＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数应注意不漏步．例5求y＝（0＜A＜【解法一】y＝（0＜A＜∴y＝＝sin（）＋cos（）＝2[sin（）＋cos（）]＝2sin（）＝2cosy′＝(2cos)′＝－sin．【解法二】y′＝()′＋()′＝(1－sinA)(－cosA)＋(1＋sinA)cosA用心爱心专心115号编辑＝∵A∈（0，）＝[（cos－sin）－（cos＋sin）]＝－sin．【解法三】∵0＜A＜y＝＋＝（cos－sin）＋（cos＋sin）＝2cos．y′＝－sin．【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－或x＝1．于是切点为P（1，2），Q（－，－），过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为＝．【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．用心爱心专心115号编辑