等比数列-难点剖析【例1】实数等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求q.思路分析：欲求q可用基本量法列出方程组求解或用性质求解.解法一:由条件得由②得a73=512,∴a7=8.将其代入①得2q8-5q4+2=0.解之得q4=或q4=2,即q=±或q=±.解法二: a3a11=a2a12=a72,∴a73=512.∴a7=8.∴∴a3和a11是方程x2-20x+64=0的两根.解此方程得x=4或x=16.∴或又a11=a3·q11-3=a3·q8,∴q=±=±=±或q=±=±.思维启示：从本题的两种解法可以看出,一般的数列计算问题,都可通过设基本量(可以用a1、q作为基本量,也可以根据题目的条件用某一项和q作为基本量)列方程组求解.但若结合等比数列的特点,用性质解题,则解题过程往往比较简单,避免了复杂的运算,但要注意性质使用的条件.【例2】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.思路分析：本题根据等差数列、等比数列的概念,利用等差数列、等比数列中的对称性质设出这四个数,以减少运算量.解法一:设这四个数依次为a-d,a,a+d,,由条件得解得或∴当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设这四个数依次为-a,,a,aq(a≠0),用心爱心专心由条件得解得或∴当q=2,a=8时,所求四个数为0,4,8,16;当q=,a=3时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法三:设这四个数依次为x,y,12-y,16-x,由已知得解得或故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.思维启示：(1)等比数列的“对称设项”方法为:当项数n为奇数时,先设中间一个数为a,再以公比为q向两边对称地依次设项即可,如三个数成等比数列,可设为,a,aq;当项数n为偶数且公比大于0时,先设中间两个数为和aq,再以公比为q2向两边对称地依次地设项即可,如四个数成等比数列可设为,,aq,aq3,六个数成等比数列可设为,,,aq,aq3,aq5.(2)对称设项法的好处在于它具有对称性,特别是当已知数列的积时,利用对称设项法可很快地求出a,从而进一步减少了未知数的个数.【例3】已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0且a,b,c构成公差不为零的等差数列,求证:x,y,z成等比数列.思路分析:要证x,y,z成等比数列,需由条件推出y2=xz.证法一: a,b,c成等差数列,∴b=.又 (b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)·logmz=0,∴(-c)logmx+(c-a)logmy+(a-)logmz=0.∴(a-c)(logmx-2logmy+logmz)=0. a,b,c的公差不为零,∴a-c≠0.∴logmx-2logmy+logmz=0.∴logmy2=logmxz.∴y2=xz.又由题设知,x,y,z均不为零,∴x,y,z成等比数列.证法二:设等差数列a,b,c的公差为d(d≠0),则b-c=-d,c-a=2d,a-b=-d,代入已知条件式,得-d(logax-2logmy+logmz)=0. d≠0,∴logmx-2logmy+logmz=0.∴logmy2=logmxz.∴y2=xz. 由题设知x,y,z均不为0,∴x,y,z成等比数列.用心爱心专心思维启示:证明等比数列的方法有两个:(1)定义法,即验证=q(常数)是否对于n≥1的整数都成立;(2)等比中项法(递推法),即验证an+12=an·an+2是否对n∈N*都成立,但应注意an≠0(n∈N*).【例4】设{an}是等差数列,bn=,已知b1+b2+b3=,b1b2b3=,求通项an.思路分析:本题主要综合考查等差数列、等比数列的通项公式及性质.本题可利用基本量法列出方程求解.解法一:设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,∴bn=.b1b3=·==b22.由b1b2b3=,得b23=,解得b2=,代入已知条件有整理得解这个方程组,得b1=2,b3=或b1=,b3=2.∴a1=-1,d=2或a1=3,d=-2.∴当a1=-1,d=2时,an=a1+(n-1)d=2n-3;当a1=3,d=-2时,an=a1+(n-1)d=5-2n.解法二:设数列{an}的公差为d, bn=,∴==()d(常数).∴{bn}是等比数列. b1b2b3=,由等比数列的性质可得b23=,∴b2=,以下同解法一.思维启示:(1)对于等差数列和等比数列的综合问题,往往需要依据条件列出方程以求特定的系数;(2)等差数列与等比数列在一定条件下可以相互转化.若{an}是等差数列,则数列{}(c为常数,c>0)一定是等比数列;若{an}是正项等比数列,则数列{logcan}(c为常数,c>0,且c≠1)一定是等差数列.【例5】2005年甲、乙两林场森林木材的存量分别为16a和25a,甲林场木材量比上年递增25%,而乙林场木材量每年比上一年递增20%.(1)求哪一年两林场木材总存量最少?最...
