课题：正切函数的图像与性质教学目标（1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质．（2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．教学重点掌握正切函数的基本性质．教学难点正切函数的单调性及证明．教学方法教师启发讲授，学生积极探究．教学手段计算机辅助．教学过程一、设置疑问，引入新课1、正切函数的定义有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数：对于任意一个实数，都有唯一确定的值与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为，叫做正切函数．大家认为这个定义是否完善？强调：．(设计意图：，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理解不能取的理由)今天我们就要研究正切函数（）的图像与性质．2、作函数图像的常用的方法是什么？（1）描点法是作函数图像最基本的方法；（2）利用基本初等函数图像的变换作图．用心爱心专心1大家认为应该选择哪种方法呢？学生的回答会选择（1）．教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点．所以，首先研究函数的基本性质．二、主动探究，解决问题（一）利用定义，研究函数的性质学生自主研究探索正切函数的性质1、定义域：．学生可以迅速解决．2、值域：R请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习．复习正切线：正切线是角x与tanx关系的直观体现，正切函数的性质融于其中．3、奇偶性：奇函数．学生会利用迅速做出判断．问：该函数是偶函数吗？（可举反例说明不是偶函数）4、周期性：是最小正周期．学生会利用，得到是函数的周期．教师提问：能否说明是最小正周期？引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢？反证法：假设存在是的周期，则用心爱心专心2都有．取，则．．，这与矛盾．从而，是正切函数的最小正周期．5、单调性：函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数．有学生可能会在正切线的复习中，认为是个增函数．若学生这样回答，则可以请同学思考，是否正确？如何说明？有学生可能说因为是周期函数，所以不是单调函数，就请同学继续思考，周期函数不是单调函数的原因．（举反例：．这与单调性的定义矛盾）对每一个，在开区间内，函数单调递增．（可以先作图，通过图观察得到结论，然后证明）（二）结合性质，作出函数的图像（1）根据正切函数的周期性，我们可以先画出一个合适的、长度为的区间上的图像，选择哪一个呢？选择区间；简单说明选择的理由．（2）借助于正切线，描点，然后用光滑的曲线顺次连接，得到函数在上的图像．（3）根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数的图像．用心爱心专心354321-1-2-3-4-5-6-7-8-8-6-4-22468234-44-2-2-32-54-34-2743254O（三）观察图像，进一步研究性质请同学们认真观察正切函数的图像，发现有何特征？（正切函数的图像是它的性质的直观表现）1、正切函数的图像是被相互平行的直线x=k+,k∈Z所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的．2、对每一个，在开区间内，函数单调递增．（同学思考，完成证明）3、正切函数的图像关于原点对称；（问：还有其他的对称中心吗？）三、通过练习，巩固基础例1．已知函数y=tanx，（1）若,求y的取值范围；（2）若,求y的取值范围．说明：（1）利用函数在区间上单调递增得到答案．用心爱心专心4（2）把y=tanx在区间上的图像不断向左、右扩展，也可得到正切函数的图像．因此，有同学说正切函数在一个周期上递增是错误的．也可以对照说明，作正切函数图时选择的合理性．例2．写出使不等式成立的x的集合．说明：先求在上满足条件的，然后扩展到整个定义域．函数图像是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，通过例题提醒学生重视数形结合的思想方法．例3、研究函数的基本性质．改为呢？说明：大多数同学能够掌握的图像可以通过的图像向左平移个单位得到，从而方便地结合图...
