14.2数列的极限巩固·夯实基础一、自主梳理1.数列极限的定义一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限.注:a不一定是｛an｝中的项.2.几个常用的极限(1)C=C(C为常数)；(2)=0；(3)qn=0(|q|<1).3.数列极限的四则运算法则设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，(an±bn)=a±b；(an·bn)=a·b；=(b≠0).链接·提示(1)an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则；(2)可推广到有限多个.二、点击双基1.下列极限正确的个数是()①=0(α>0)②qn=0③=-1④C=C(C为常数)A.2B.3C.4D.都不正确解析:①③④正确.答案:B2.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=5,则(++…+)等于…()A.2B.C.1D.解析:令bn=log2(an-1),则{bn}成等差数列,b1=log22=1,b2=log24=2,可知数列bn=n=log2(an-1),∴an=2n+1,则an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n,即求(++…+)==1.答案:C3.下列四个命题中正确的是()用心爱心专心1A.若An2=A2，则an=AB.若An＞0，An=A，则A＞0C.若An=A，则An2=A2D.若(An-bn)=0，则An=bn解析:排除法，取an=(-1)n，排除A；取an=，排除B；取An=bn=N，排除D．答案:C4.计算:=__________________.解析:==3.答案:35.=_______________.解析:==.答案:链接·提示求数列极限时,如是不定型(,,∞-∞等),应先变形,再求极限.诱思·实例点拨【例1】数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则(a1+a2+…+an)等于()A.B.C.D.解析:∵an+an+1=,∴a1+a2=,a3+a4=,a5+a6=,….(a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+an)用心爱心专心2=［(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…］=(+++…)==.答案:C讲评:本题考查数列与极限.解本题重在数列求和,关键在于转化为无穷递缩等比数列.【例2】求下列极限:(1)；(2)(-n)；(3)(++…+).剖析:(1)因为分子、分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子、分母同除以n2后再求极限；(2)因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:(1)==.(2)(-n)===.(3)原式===(1+)=1.讲评:当n→∞时,(1)如果出现型,常上、下同除以n的多项式;(2)若出现型,常需约去“0”因子;(3)若出现∞-∞型,需化简或有理化.链接·提示对于(1)要避免下面两种错误:①原式===1,②∵(2n2+n+7),(5n2+7)不存在，∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误:①(-n)=-n=∞-∞=0；②原式=-n=∞-∞不存在.对用心爱心专心3于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.【例3】已知数列{xn}满足x2=,xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,….若xn=2,则x1等于()A.B.3C.4D.5剖析:由xn=(xn-1+xn-2)可找出相邻两项之间的递推关系,再进一步求xn,利用xn=2可求x1.解析:xn=(xn-1+xn-2),两边减去xn-1得xn-xn-1=-(xn-1-xn-2),∴=-,即{xn-xn-1}是以x2-x1为首项,公比为-的等比数列,xn-xn-1=(-)(-)n-2.x2-x1=-,x3-x2=-(-),∴x4-x3=-(-)2,……xn-xn-1=(-)(-)n-2.相加得xn-x1=-·=.(*)∵xn=2,(*)式两边取极限,得2-x1=-,∴x1=3.答案:B讲评:本题重在考查数列的通项、求和、迭加法求通项、极限的运算法则等知识,综合性较强.【例4】若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根,其中0<|c|<1,当(b1+b2+…+bn)≤3,求c的取值范围.解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.∴===c.又a1·a2=a2=c,∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒用心爱心专心4成立,∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,∴b1,b3,b5,…,b2n-1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,∴(b1+b2+b3+…+bn)=(b1+b3+b5+…)+(b2+b4+…)=+≤3.解得c≤或c>1.∵0<|c|<1,∴0
