平面向量的数量积的物理背景及其含义【知识与技能】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.【过程与方法】平面向量的数量积是在分析了物理上“做功”问题的背景下来研究其含义的，是一个向量的模与另一个向量在该向量方向上的投影的积.平面向量的数量积是向量运算的一种，其结果是一个数值.根据运算法则，求平面向量的数量积应知道两个向量的模与夹角，在确定两个向量的夹角时，应先保证其起点相同，否则容易把其夹角的补角错当夹角.一、教学目标1．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.二、教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解．三、教学过程1．设置情境我们学过功的概念：即一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功：，其中表示一个什么角度？表示力的方向与位移的方向的夹角．我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量、，来规定的含义。2．探索研究（l）向量的夹角：已知两个非零向量和，在平面上任取一点，作，，则叫做向量与的夹角．你能指出下列图中两向量的夹角吗？①与的夹角为，②与的夹角为，③与的夹角是，④与的夹角是．（2）平面向量的数量积的定义：（板书）已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量，叫做向量与的数量积或（内积）记作即。并规定问：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别．用心爱心专心116号编辑答：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量．问：你能从图中作出的几何图形吗？表示的几何意义是什么？答：如图5－33，过的终点作的垂线段，垂足为，则由直角三角形的性质得：所以叫做向量在向量上的投影，叫做在上的投影．(3)的几何意义：向量与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的积．注意：1投影也是一个数量，不是向量。2当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|。向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。（4）数量积的性质：设，都是非零向量，是与的方向相同的单位向量，是与的夹角，则①②③当与同向时，，当与反向时，。特别地④⑤3．演练反馈（投影）（通过练习熟练掌握性质）判断下列各题是否正确（1）若，则对任意向量，有（√）（2）若，则对任意非零量，有（×）（3）若，且，则（×）（4）若，则或（×）（5）对任意向量有（√）（6）若，且，则（×）4．总结提炼（l）向量的数量的物理模型是力的做功．（2）的结果是个实数（标量）（3）利用，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。（4）二向量夹角范围．（5）五条属性要掌握．用心爱心专心116号编辑五、板书设计【补充例题】例1判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝0；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠0；⑥ａ·ｂ＝0，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝0；对于②：应有0·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝0；对于⑥：由ａ·ｂ＝0可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ...
