合情推理典型例题例1观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中,第100项是()（A）10（B）13（C）14（D）100解析由规律可得:数字相同的数依次个数为1,2,3,4,…n由≤100n∈得,n=14,所以应选（C）例2对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:。解析由类比推理如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补例3、观察以下各等式：，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。解析猜想：。证明练习一、选择题1、观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是()(A)42,41,123;(B)13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，用心爱心专心类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”（）(A)AB2+AC2+AD2=BC2+CD2+BD2(B)(C)(D)AB2×AC2×AD2=BC2×CD2×BD23、已知，猜想的表达式为()A.B.C.D.二、填空题4、依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为。5、在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立.三、解答题6.在DEF中有余弦定理：.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.7、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；用心爱心专心是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？答案一、选择题（1）（A）观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选（A）。（2）分析关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边体积面积；二面角平面角面积线段长；……由此，可类比猜测本题的答案：，故选（C）。（3）由归纳猜想可得选（B）。二、填空题（4）由归纳猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=（5）猜测本题的答案为：事实上，对等差数列，如果，则.所以有：）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：用心爱心专心成立三、解答题6．分析根据类比猜想得出.其中为侧面为与所成的二面角的平面角.证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得即7．解：（1）（2），当时，.（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.……12分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.研究的结论可以是：由，用心爱心专心依次类推可得当时，的取值范围为等.用心爱心专心
