双曲线的几何性质（2）教学目标（1）掌握由渐近线方程求双曲线方程的方法；（2）能解决与双曲线有关的综合问题。教学过程一．问题情境复习回顾双曲线的定义、简单几何性质以及之间的关系和相应的几何意义二．学生活动练习：（1）是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则=。（33）（2）已知双曲线的离心率，的取值范围为。（）三．数学运用1．例题：例1．已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，求此双曲线的方程。分析：通过对椭圆方程探求的学习可知，求双曲线方程主要采用待定系数法，先要根据条件确定是否为标准方程，焦点位置如何，再设出双曲线的方程，如焦点位置不定，须分类讨论或设出一个一般方程；最后根据条件确定方程用的系数；对于已知双曲线的渐近线方程时，采用共渐近线的双曲线系求解，可简化运算。解解法一当焦点在轴上时，设所求双曲线方程为，由渐近线方程为得，又得。双曲线方程为。同理，当焦点在用心爱心专心轴上时，可得双曲线方程为。即所求双曲线方程为或。解法二由渐近线方程为可设双曲线方程为，即。由，得，即。所求双曲线方程为或。例2已知以双曲线的右焦点为圆心的一个圆，经过双曲线的中心，该圆与双曲线的一个交点为，且（为左焦点）恰为圆的切线，求双曲线的离心率。解双曲线的中心是，故圆方程为。因为为圆的切线，所以，所以，又因为所以，即，所以。例3．设双曲线，是其中两个焦点，点在双曲线上（1）若，求的面积。（2）若时，的面积是多少？若，的面积又是多少？（3）观察以上计算结果，你能看出随的变化，的面积将怎样变化吗？试证明你的结论？（理科）用心爱心专心解（1）有双曲线方程知，设。由双曲线定义，有，两边平方得，即，也即，求得。（2）若，在中，由余弦定理得即求得。同理可得若，。（3）由以上结果可见，随着的增大，的面积将减小。证明如下：令，则。由双曲线定义及余弦定理，有（2）-（1）得所以是减函数，因此当增大时，减小。例4．设双曲线的方程为，直线的方程是，当为何值时，直线与双曲线（1）有两个公共点？（2）仅有一个公共点？（3）没有公共点？解联立方程组消去并化简，得。当，即时：时，上式无解；时，有一解。当时，。当且，即时，无解；当且时，即且用心爱心专心时，有两解；当且时，无解。所以当且时，有两个交点；当时，有一个交点；当时，无交点。五．回顾小结：1．以为渐近线的双曲线为；2．双曲线有关的综合问题。用心爱心专心
