高中数学《函数与导数》教学设计-人教版高中全册数学教案VIP专享VIP免费

《函数与导数》§2.8函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(√)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×)(5)函数y＝2sinx－1的零点有无数多个．(√)(6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－10，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.2．(2013·天津)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析当01时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f(x)＝0得log2x＝x，由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.3．(2014·湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}答案D解析令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋>0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}．4．已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N＋)，则k的值为________．答案3解析由题意知，当x>1时，f(x)单调递减，因为f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k＝3.题型一函数零点的判断和求解例1(1)设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)函数f(x)＝的零点个数是________．答案(1)C(2)3解析(1)设f(x)＝lnx＋x－4， f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，2∴x0∈(2,3)．(2)当x>0时：作函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，x>0时，f(x)有两个零点；当x<0时，由f(x)＝0得x＝－，综上，f(x)有三个零点．思维升华函数零点的求法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点...