4．4对数函数最新课程标准：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]1．教材P130思考根据指数与对数的关系，由y＝(x≥0)得到x＝logy(0＜y≤1)．如图，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)(0＜y0≤1)作x轴的平行线，与y＝(x≥0)的图象有且只有一个交点(x0，y0)．这就说明，对于任意一个y∈(0,1]，通过对应关系x＝logy，在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数x1＝logy，y∈(0,1]刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．2．教材P132思考利用换底公式，可以得到y＝logx＝－log2x.因为点(x，y)与点(x，－y)关于x轴对称，所以y＝log2x图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)都在y＝logx的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用y＝log2x的图象画出y＝logx的图象．3．教材P138思考一般地，虽然对数函数y＝logax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx.4．4.1对数函数的概念[基础自测]1．下列函数中是对数函数的是()A．y＝logxB．y＝log(x＋1)2C．y＝2logxD．y＝logx＋1解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A2．函数y＝ln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln(1－x)的定义域为[0,1)．答案：B3．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是()解析： 0＜a＜1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A4．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．解析：因为f(x)＝log2x在[2,3]上是单调递增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.答案：[1，log23]题型一对数函数的概念例1下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x.【解析】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法3跟踪训练1若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.答案：1对数函数y＝logax系数为1.题型二求函数的定义域[教材P130例1]例2求下列函数的定义域：(1)y＝log3x2；(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．【解析】(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定...
