8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用相关三角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式)．教学重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.2.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.【知识导学】知识点一二倍角公式S2α：sin2α＝□2sinαcosα.C2α：cos2α＝□cos2α－sin2α＝□2cos2α－1＝□1－2sin2α.T2α：tan2α＝□.知识点二半角公式sin＝□±；cos＝□±；tan＝□±＝□＝.知识点三积化和差公式cosαcosβ＝[□cos(α＋β)＋□cos(α－β)]，sinαsinβ＝－[□cos(α＋β)－□cos(α－β)]．sinαcosβ＝[□sin(α＋β)＋□sin(α－β)]，cosαsinβ＝[□sin(α＋β)－□sin(α－β)]．知识点四和差化积公式cosx＋cosy＝□2coscos，cosx－cosy＝□－2sinsin，sinx＋siny＝□2sincos，sinx－siny＝□2cossin.【新知拓展】1．倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．前提：所含各三角函数有意义．2．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围选用符号．(3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号：αsincostan第一象限第一、三象限＋、－＋、－＋第二象限第一、三象限＋、－＋、－＋1第三象限第二、四象限＋、－－、＋－第四象限第二、四象限＋、－－、＋－(4)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．()(4)若角α是第一象限角，则sin＝.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．做一做(1)sin15°sin75°的值为()A.B.C.D.(2)若cosα＝，α∈(0，π)，则cos的值为()A.B．－C．±D．±(3)已知cosα＝，则cos2α等于________．(4)tan22.5°＝________.答案(1)B(2)A(3)－(4)－1题型一利用倍角公式化简求值例1(1)计算：①cos4－sin4＝________；②－cos2＝________；(2)化简：＝________；(3)化简：＝________.[解析](1)①cos4－sin4＝·＝cosα.②原式＝＝－＝－cos＝－.(2)原式＝＝＝.(3)原式＝＝＝＝1.[答案](1)①cosα②－(2)(3)1金版点睛倍角公式转化的策略(1)探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提．(2)注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化．(3)分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键．提醒：在化简求值时要关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2求下列各式的值：(1)；(2).解(1)＝cos2－sin2＝cos＝.(2)＝tan30°＝.题型二半角公式的应用例2已知sinφcosφ＝，且<φ<，求sinφ，cosφ的值．[解] sinφcosφ＝，∴sin2φ＝，又 <φ<，∴<2φ<π，sinφ>0，cosφ>0，∴cos2φ<0，∴cos2φ＝－＝－＝－，∴sinφ＝＝＝，cosφ＝＝＝.金版点睛利用半角公式化简的基本思路(1)降次．一般运用公式cos2＝，sin2＝化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．(2)统一函数名称．化多种三角函数为单一的三角函数．(3)统一角．化多角为单一角，减少角的种类．(4)弦切互化．一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定．已知cosα＝－，180°<α<270°，求sin，cos，tan.解 180°<α<270°，∴90°<<135°，即角是第...
