第五课时向量的数乘(二)教学目标：掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.教学重点：实数与向量积的运用.教学难点：实数与向量积的运用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.证明：因为E、F为DC、AB的中点，∴DE＝DC，BF＝BA，由向量加法法则可知：AE＝AD＋DE＝AD＋DC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA. 四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝－CB，DC＝－BA，∴AE＝－CB－BA＝－(CB＋BA)＝－CF∴AE∥CF，∴AE∥CF［例2］已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明AO＝OC，BO＝OD.分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明： A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，∴存在实数λ和μ，使得AO＝λAC，BO＝μBD.设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，BD＝b－a∴AO＝λ(a＋b)，BO＝μ(b－a).又 AB＋BO＝AO，∴a＋μ(b－a)＝λ(a＋b)，即(1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0，又 a与b不共线，由平面向量基本定理，，∴μ＝λ＝，∴AO＝AC，BO＝BD，即AO＝OC，BO＝OD.［例3］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝(PA＋PB＋PC).证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM＝3GM，由向量中线公式有：GM＝(GB＋GC)，AM＝(AB＋AC)，∴GB＋GC＝(AB＋AC)①同理可得GA＋GB＝(CA＋CB)②1GA＋GC＝(BA＋BC)③由式①＋②＋③得：2(GA＋GB＋GC)＝(AB＋BA＋AC＋CA＋CB＋BC)＝0∴GA＋GB＋GC＝0∴3PG＝PG＋PG＋PG＝(PA＋AG)＋(PB＋BG)＋(PC＋CG)＝(PA＋PB＋PC)＋(AG＋BG＋CG)＝PA＋PB＋PC∴PG＝(PA＋PB＋PC).［例4］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.求证：AD∥GC.证明：如图，因为四边形BEGF是平行四边形.所以FB＝GE又因为D是BC的中点，所以BD＝DC，所以AD－AB＝AC－AD，所以AD＝(AB＋AC)＝FB＋EC＝GE＋EC＝GC所以AD∥GC.［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：｜AB－CD｜≤EF≤(AB＋CD).证明：如图， EF＝EA＋AB＋BF，EF＝EC＋CD＋DF，∴2EF＝(EA＋EC)＋(AB＋CD)＋(BF＋DF) E、F分别是AC、BD的中点，∴EA＋EC＝0，BF＋DF＝0，∴EF＝(AB＋CD)又 ｜｜AB｜－｜CD｜｜≤｜AB＋CD｜≤｜AB｜＋｜CD｜，∴｜｜AB｜－｜CD｜｜≤｜EF｜≤(｜AB｜＋｜CD｜)，即｜AB－CD｜≤EF≤(AB＋CD).Ⅲ.课堂练习课本P68练习1，2，3.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业课本P69习题9，10，12，13向量的数乘1．已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设EA＝a，EB＝b，则向量BC等于（）2A.2a＋bB.2a－bC.b－2aD.－b－2a2．若AB＝5e1，CD＝－7e1，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等3．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AB＝－a－b②BE＝a＋b③CF＝－a＋b④AD＋BE＋CF＝0.其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.44．若O为平行四边形ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1等于（）A.AOB.BOC.COD.DO5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7)a，则x＝，y＝.6．在△ABC中，AE＝AB，EF∥BC交AC于点F，设AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量BF为.7．若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则实数k的值为.8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：EF＝（AB＋DC）.9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若OA＝a，OB＝b，试用a，b表示OC.310．如图，OA＝a，OB＝b，AP＝tAB（t∈R)，当P是（1）AB中点，（2）AB的三等分点（离A近的一个）时，分别求OP.向量的数乘答案1．D2．B3．C4．B5．6．－a＋b7．±18．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：EF＝（AB＋DC）.证明： EF＋FC＋CD＋DE＝0，EF＋FB＋BA＋AE＝0∴EF＝ED＋DC＋CF，EF...
