高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

2．3.1抛物线及其标准方程预习课本P56～59，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)()答案：(1)×(2)×2．抛物线x＝－2y2的准线方程是()A．y＝B．y＝C．x＝D．x＝答案：D3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()A．(8,8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)答案：C4．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．答案：y2＝8x抛物线的标准方程[典例]求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6,6)；(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．[解](1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.(2)① 直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.② 直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程[注意]当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．[活学活用]1．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝______，准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.答案：2x＝－12．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．由抛物线的定义得|AF|＝＝5，又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.抛物线定义的应用[典例](1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．[解析](1)由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.[答案]A(2)解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．[一题多变]1．[变结论]若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或.2．[变结论]若本例(2)中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．解：如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝.当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(...