高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式讲义（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教案VIP免费

二一般形式的柯西不等式名称形式等号成立条件三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)[点睛]一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．利用柯西不等式证明不等式[例1]设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥.[思路点拨]根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] (x1＋x2＋…＋xn)＝[(1)2＋()2＋…＋()2]·≥2＝n2，∴＋＋…＋≥.柯西不等式的结构特征可以记为：(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋>.证明：构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因为a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋>.利用柯西不等式求最值[例2](1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求＋＋的最小值；(2)设2x＋3y＋5z＝29，求函数μ＝＋＋的最大值．[思路点拨](1)利用＋＋＝(x＋y＋z)．(2)利用(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2.[解](1) x＋y＋z＝1，∴＋＋＝(x＋y＋z)；≥2＝(1＋2＋3)2＝36.当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．所以＋＋的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(×1＋×1＋×1)2≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)＝3×(2x＋3y＋5z＋11)＝3×40＝120.故＋＋≤2，当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝，y＝，z＝时等号成立．此时μmax＝2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x，y，z∈R，且x－2y＋2z＝5，则(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是()A．20B．25C．36D．47解析：选C [(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x＋5)＋(－2)(y－1)＋2(z＋3)]2＝324，当且仅当＝＝，即x＝－3，y＝－3，z＝1时取等号．故(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是36.3．若2x＋3y＋4z＝11，则x2＋y2＋z2的最小值为________．解析： 2x＋3y＋4z＝11，∴由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(4＋9＋16)≥(2x＋3y＋4z)2，故x2＋y2＋z2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．答案：4．把一根长为12m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，均为正数，三个正方形面积之和：S＝2＋2＋2＝(x2＋y2＋z2)． (12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝3.当且仅当＝＝时取等号，又x＋y＋z＝12，∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3m2.1．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为()A．5B．－5C．25D．－25解析：选B(ab＋bc＋cd＋ad)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立．∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5.2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是()A．1B．2C．3D．4解析：选A(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)·(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.3．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是()A．5B．6C．8D．9解析：选Dx＋＋＝＋＋·≥·＋·...