3．1.2复数的几何意义1．复平面的相关概念如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做□复平面，x轴叫做□实轴，y轴叫做□虚轴．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．2．复数的向量表示如图，在复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ是由□点Z唯一确定的；反过来，点Z(相应与原点来说)也可以由向量□OZ唯一确定．复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量OZ.这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示□同一个复数．3．向量的模的定义公式向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作□|z|或□|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数□a，它的模等于□|a|(就是a的□绝对值)．由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．复数的向量表示(1)任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ对应，这些对应都是一一对应，即1(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(1)若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数为________．(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第________象限．(3)复数i的模是________．答案(1)－3i(2)四(3)探究\s\up7()复平面内复数与点的对应例1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．[解]复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得∴∴－10，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．探究\s\up7()复平面内复数与向量的对应例2已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO表示的复数；(2)CA表示的复数；(3)点B对应的复数．[解](1) AO＝0－(3＋2i)＝－3－2i，∴AO表示的复数为－3－2i.(2) CA＝(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.∴CA表示的复数为5－2i.(3) OB＝OA＋OC，∴OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.拓展提升复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．【跟踪训练2】(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是________；(2)在复平面内，O为原点，向量OA对应复数为－1＋2i，点A关于直线y＝－x对称点为B，则向量OB对应复数为________．答案(1)－6－8i(2)－2＋i解析(1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA与OB，所以OA＝(4,3)，OB＝(－2，－5)，又AB＝OB－OA＝(－...
