数系的扩充1教学流程与设计意图1.1设置情境，再现历史问题1将10分成两部分，使两者的乘积为40．设计意图：一方面展示数学家卡当的风采，激发学生的学习兴趣；另一方面，引领学生重温历史，感悟数学发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手．问题2有没有两个数之和为10呢？有没有两个数之积为40呢？那为什么刚才的问题无解呢？设计意图：充分暴露数学家的思维过程，一方面让学生体验数学家的科研精神，另一方面让学生处于“愤悱”状态．问题3实数集中有没有这两个数？设计意图：打破原有认知平衡，形成认知冲突，让学生感受到数已经不够用了，体现学习新知识的必要性．1.2设计问题，追溯历史问题4数集经历了哪几次扩充？设计意图：学生已经学习过自然数、整数、分数、负数、有理数、无理数、实数等，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，即自然数集→整数集→有理数集→实数集，这是学生的“最近发展区”，也是本节课知识的生长点．问题5每一次扩充分别解决了哪些问题？计意意图：学生通过小组合作交流、回忆、思考每次数集扩充的必要性，解决了哪些问题，即数集为什么要扩充？通过板书：让学生感受到这些数的产生不是从天而降，是数学内部发展的需要，也是社会发展的需要．问题6这几次扩充有什么共同的特点？设计意图：一方面培养学生的观察、概括与表达能力；另一方面通过对前几次数集扩充的梳理，为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能提炼出1自然数集负整数引入无理数引入分数引入整数集有理数集实数集＋×乘方＋×乘方－＋×乘方－÷＋×乘方－÷开方数系扩充的一般原则．由此，突破本节课的一个难点．1.3借鉴历史，生成理论T：然而，历史在前进，社会在发展，生活中的矛盾不断涌现．五百多年前一个怪东西摆在卡当面前，即－15开平方问题（板书：15）．要解决15问题，就是要找一个数的平方为－15（板书：2()1515(1)）．我们知道，15已经解决，因此问题即转化为找一个数的平方为－1？（板书：2()1？）设计意图：教师引领学生再现卡当问题，将问题转化为找一个数的平方为－1，而且运用规范醒目的板书和留白艺术，给予学生充分的思考问题的时间与空间，从而让“引入新数”水到渠成．T：为什么用i呢？i是“虚幻的”英文单词imaginary的第一个字母．T：是谁引入了i呢？卡当只是发现了这个矛盾，它的引入者是被称为“分析的化身”的瑞士著名数学家欧拉，引入时间公元1777年，从十六世纪到十八世纪，历史的车轮已经行进了两百多年，可见科学上每一步的迈出是多么的艰辛！设计意图：教师通过自问自答，介绍与虚数单位i有关的历史，激发学生兴趣，强化对i的认识，并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰辛！问题7引入i后，你能写出卡当要找的数吗？问题8你还能写出其他含有i的数吗？设计意图：学生利用新知解决卡当问题，通过举例，加深对i的理解，为复数的代数形式的建构奠定基础．问题9你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？设计意图：数学需要形式化、符号化．复数的代数形式正是这一体现，也是本节课的重点与难点．笔者通过设计问题7、8的铺垫，对问题9的提出，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式，培养学生抽象概括能力．问题10i(,)ababR一定是虚数吗？设计意图：引导学生自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解，攻克本节课的重点．21.4精选例题，学以致用例1．请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q，R，C．例2．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．4，23i，0，14i23，52i，6i，22i例3．实数m取什么值时，复数(1)(1)izmmm是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？问题11对于复数1izab，2i(,,,)zcdabcdR在什么情况下相等呢？例4．已知()(2)i(25)(3)ixyxyxxy，求实数x，y的值．设计意图：例题1主要是前后照应，采用概念同化的方式完善认知结构；例题2、例题3主要是巩固复数的分类标准；例题4主要是强化复数相等的充要条件．让学生在解决问题的过程中内化复数有...
