高中数学 第三章 函数 3.1.3 函数的奇偶性（第1课时）函数奇偶性的概念教师用书 新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

第1课时函数奇偶性的概念考点学习目标核心素养函数奇偶性的判断结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法数学抽象、逻辑推理奇、偶函数的图像了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系直观想象奇、偶函数的应用会利用函数的奇偶性解决简单问题数学运算问题导学预习教材P104－P109的内容，思考以下问题：1．奇函数与偶函数的定义是什么？2．奇、偶函数的定义域有什么特点？3．奇、偶函数的图像有什么特征？1．偶函数(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．(2)图像特征：图像关于y轴对称．2．奇函数(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．(2)图像特征：图像关于原点对称．■名师点拨(1)奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．(2)奇、偶函数的对应关系的特点①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)；②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．()(2)函数f(x)＝x2的图像关于原点对称．()(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋14解析：选C.A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选C.若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2B．2C．0D．不能确定解析：选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．答案：②④①③若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.答案：－20函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝【解】(1)因为x∈R，所以－x∈R，又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又因为f(－x)＝＝－＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图像法[注意]对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．1．给定四个函数：①y＝x3＋；②y＝(x>0)；③y＝x3＋1；④y＝.其中是奇函数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.①函数的定义域为R，f(x)＝x3＋，f(－x)＝－(x3＋)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；④函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数．2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(...