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高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 2 绝对值不等式的解法讲义(含解析)新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教案VIP免费

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2.绝对值不等式的解法1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax+b看成一个整体,即化成|x|≤a,|x|≥a(a>0)型不等式求解.|ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:先化为-c≤ax+b≤c,再由不等式的性质求出原不等式的解集.不等式|ax+b|≥c(c>0)的解法:先化为ax+b≥c或ax+b≤-c,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.2.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关键.(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.|f(x)|≥g(x)和|f(x)|≤g(x)型不等式的解法[例1]解下列不等式:(1)1<|x-2|≤3;(2)|2x+5|>7+x;(3)≤.[思路点拨](1)可利用公式转化为|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|0)型不等式后逐一求解,也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式;(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式;(3)可分类讨论去掉分母和绝对值.[解](1)法一:原不等式等价于不等式组即解得-1≤x<1或37+x,可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),整理得x>2或x<-4.∴原不等式的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞).(3)①当x2-2<0且x≠0,即-0时,原不等式可化为x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0,∴|x|≥2,∴不等式的解为|x|≥2,即x≤-2或x≥2.∴原不等式的解集为(-∞,-2]∪(-,0)∪(0,)∪[2,+∞).含绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法,即①当a>0时,|f(x)|a⇔f(x)>a或f(x)<-a.②当a=0时,|f(x)|a⇔f(x)≠0.③当a<0时,|f(x)|a⇔f(x)有意义.(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法,即|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2⇔[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0.(3)形如|f(x)|g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法,即①|f(x)|g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负).若此类问题用分类讨论法来解决,就显得较复杂.(4)形如a<|f(x)|a>0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法,即a<|f(x)|f(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义,即|f(x)|f(x)⇔f(x)<0.1.解下列不等式:(1)|3-2x|<9;(2)4<|3x-2|<8;(3)|x2-3x-4|>x+1.解:(1) |3-2x|<9,∴|2x-3|<9.∴-9<2x-3<9.即-6<2x<12.解得-3x+1或x2-3x-4<-x-1,∴x2-4x-5>0或x2-2x-3<0.解得x>5或x<-1或-1

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