高中数学 第5章 推理与证明 5.2 直接证明与间接证明 5.2.2 间接证明：反证法讲义（含解析）湘教版选修1-2-湘教版高二选修1-2数学教案VIP免费

5．2.2间接证明：反证法[读教材·填要点]1．反证法的定义先假设原命题的否定成立，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，这种间接证法称为反证法．2．反证法的一般步骤(1)反设；(2)归谬；(3)结论．[小问题·大思维]1．用反证法证明命题“若p，则q”时，綈q假，q即为真吗？提示：是的．在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者中居其一，綈q是q的反面，若綈q为假，则q必为真．2．反证法与逆否命题证明的区别是什么？提示：反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．用反证法证明否定型命题直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．当点B在W上且不是W的顶点时，求证：四边形OABC不可能为菱形．[自主解答]假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝，设AC的中点为M，则M，因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以四边形OABC不可能是菱形．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数，又 a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．用反证法证明“至多”“至少”型命题已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[自主解答]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⇒这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．2．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误．所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.用反证法证明“唯一”型命题用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．[自主解答]由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．3．设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．证明：因为a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(lna)＝(1...