高中数学 第4章 概率与统计 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.2 第1课时 乘法公式教案 新人教B版选择性必修第二册-新人教B版高二选择性必修第二册数学教案VIP免费

4.1.2乘法公式与全概率公式第1课时乘法公式学习目标核心素养1．掌握乘法公式及其推广．(重点)2．会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率．(难点)1．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养．2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养.小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个．问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？乘法公式及其推广(1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0.(2)乘法公式的推广：设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率．思考：P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？[提示]P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)P(AB)＝P(BA)．()(2)P(AB)＝P(A)P(B)．()(3)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0.()[答案](1)√(2)×(3)√2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于()A.B.C.D.C[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故选C.]3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.B.C.D.A[记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.]4．若P(B|A)＝，则P(B|A)＝________.[P(B|A)＝1－P(B|A)＝1－＝.]乘法公式及其应用【例1】一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到的均为黑球的概率．[解]设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”.由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率．[解]用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝，用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝.故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.2．(变结论)在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率．[解]用Bi表示第i次取得白球，i＝1,2，则B1B2表示两次取到的均是白球．由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝.∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝.乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算PAB不好计算时，可先求出PA及PB|A或先求出PB及PA|B，再利用乘法公式PAB＝PAPB|A＝PBPA|B求解即可.乘法公式的推广及应用【例2】设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为.试求透镜落下三次而未打破的概率．[解]以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝A1A2A3，故有P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)＝＝.该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解．[跟进训练]1．在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率．(结果保留两位有效数字)[解]设Ai表示“第i次取得次品”(i＝1,2,3)，B表示“第三次才取到次品”，则B＝A1A2A3，∴P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1A2)＝××≈0.046.乘法公式的综合应用[探究问题]1．P(B|A)与P(B|A)存在怎样的等量关系？[提示]P(B|A)＋P(B|A)＝1.2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，则A1∪A2∪A3的对立事件与A1A2A3相同吗？[提示]相同．【例3】已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品．但采购员不知有几件次品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品．求采购员拒绝购买这批产品的概率．[思路点拨]本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解．[解]设Ai＝{被抽查的第i件产品是废品}，i＝1,2,3,4,5.设A＝{采购员拒绝购买...