3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法学习目标核心素养1．理解复数的乘除运算法则.2．会进行复数的乘除运算．(重点)3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点)4．掌握共轭复数的运算性质．(易混点)通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.一、复数的乘法及其运算律1．定义(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．运算律对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z33．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．4．i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1．二、复数的除法法则1．已知z＝a＋bi，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作，则＝－i且＝.2．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，＝＝＋i.1．复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i[解析]＝＝1＋i，∴的共轭复数为1－i，故选B.[答案]B2．已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.[解析]z1＝(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.[答案]4＋2i3．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．[解析] i·z＝1＋2i，∴z＝＝2－i，故z的实部为2.[答案]2复数代数形式的乘法运算【例1】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.[解析](1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(2) z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.∴＝2－3i.故选C.(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.[答案](1)D(2)C(3)5－5i1．两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.[解析]设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i. z1·z2是纯虚数．∴解得或∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.[答案]4＋3i或－4－3i复数代数形式的除法运算【例2】＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)i是虚数单位，复数＝()A．1－iB．－1＋iC.＋iD．－＋i[解析](1)法一：＝＝＝＝＝－1－i.故选D.法二：＝2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．(2)＝＝＝1－i，故选A.[答案](1)D(2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.D.[解析](1) ＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．∴z＝＝＝＝－i.(2) z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，∴|z|＝＝.[答案](1)B(2)Cin的周期性及应用[探究问题]1．i5与i是否相等？提示：i5＝i4·i＝i，相等．2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？提示：i＋i2＋i3＋i4＝0.【例3】计算i1＋i2＋i3＋…＋i2020.[思路探究]本题中需求多个in和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．[解]法一：原式＝＝＝＝0.法二： i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2020＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2017＋i2018＋i2019＋i2020)＝0.虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．3...
