3.3.2抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.(1)通过多媒体课件展示．抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣．(2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该拱桥？为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点．Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示]可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是无中心的圆锥曲线．()(2)抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．()(3)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝．()[提示](1)√(2)√(3)×2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是()A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16yD[顶点到准线的距离为，则＝4.解得p＝8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x2＝±16y.]3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．10B．8C．6D．4B[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]4．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.4[双曲线的左焦点为(－，0)，由条件可知，－＝－，解得p＝4.]抛物线性质的应用【例1】(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．[思路探究](1)利用抛物线和圆的对称性，先确定出交点坐标，然后再求方程．(2)根据抛物线的定义，将条件转化到三角形中，再根据三角形的关联性求解．(1)y2＝3x或y2＝－3x[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.](2)[解]如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， |AF|＝4，|AC|＝4＋3a，∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝， BD∥FG，∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x.用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．[跟进训练]1．若直线x＝m与抛物线y2＝4x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．[解]根据题意△ABF为等边三角形，则tan60°＝，m＞0，解得m＝7±12.直线与抛物线的位置关系【例2】(1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．[思路探究...
