3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标核心素养1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式．(重点)2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化简、求值和证明．(重点)3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应用．(难点、易混点)1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模和逻辑推理素养.2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证明，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝2.余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝sin2α，cosα＝.(2)1±sin2α＝(sinα±cosα)2.思考：用tanα能表示sin2α和cos2α吗？[提示]可以．sin2α＝2sinαcosα＝.cos2α＝cos2α－sin2α＝.1.＝()A．－B．－C.D.D[原式＝cos2－sin2＝cos＝.]2．sin15°cos15°＝.[sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝.]3.－cos2＝.－[－cos2＝＝－cos＝－.]4．若tanθ＝2则tan2θ＝.－[tan2θ＝＝＝－.]给角求值【例1】(1)cos4－sin4等于()A．－B．－C.D.(2)求下列各式的值．①1－2sin2750°；②；③coscos.(1)D[原式＝＝cos2－sin2＝cos＝.](2)[解]①原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos＝cos60°＝.②原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.③原式＝＝＝＝＝.对于给角求值问题一般有两类：1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟进训练]1．求下列各式的值(1)cos72°cos36°；(2)＋.[解](1)cos36°cos72°＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝＝4.给值求值、求角问题[探究问题]1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？提示：主要变形有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝.2．如何在倍角公式中用2α±＝2(α±)解题？提示：(1)sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；(2)cos2x＝sin＝sin＝2sincos；(3)cos2x＝sin＝sin＝2sincos.【例2】(1)已知α∈，且sin2α＝sin，求α.(2)已知sin＝，0＜x＜，求的值．思路点拨：(1)－2α＝，用诱导公式联系求解．(2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解．[解](1) sin2α＝－cos＝－＝1－2cos2，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－. α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.(2) 0＜x＜，sin＝，∴－x∈，cos＝，＝＝(cosx＋sinx)＝2cos＝.1．若本例(2)中的条件不变，则的值是什么？[解]sin＝cosx－sinx＝，平方得sin2x＝，sin＝cos＝cos＝，所以＝×＝.2．若本例(2)中的条件变为tan＝，其他条件不变，结果如何？[解]因为tan＝，所以sin＝cos，又sin2＋cos2＝1，故可解得cos＝，原式＝2cos＝.解决条件求值问题的方法1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.2当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.化简、证明问题【例3】(1)化简：＋＝.(2)证明：＝－4.思路点拨：(1)通分变形．(2)→→(1)－tan2θ[原式＝＝＝－＝－tan2θ.](2)证明：左边＝＝＝＝＝－4＝右边，所以原等式成立．]证明三角恒等式的原则与步骤1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.2证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[跟进训练]2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.[证明](1)左边＝－＝＝(cos2Acos2B－sin2Asi...
