高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质讲义 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

2.3.2双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．2.借助性质的应用，提升数学运算素养.1．双曲线的简单几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x2．等轴双曲线(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝；②等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直．思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．1．双曲线－＝1的渐近线方程是()1A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±xC[双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，因此渐近线方程为y＝±x.]2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是()A．(4,0)，(0,1)B．(－4,0)，(4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．(－，0)，(，0)[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．]4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为________．[因为渐近线方程为y＝x，所以＝，所以离心率e＝＝＝＝.]由双曲线的方程求其几何性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路探究]本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．[解]将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.作草图，如图所示：用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1．将双曲线方程化为标准方程形式；2．判断焦点的位置；3．写出a2与b2的值；4．写出双曲线的几何性质．21．求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率．[解]将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4，∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x；(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．[思路探究]利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解．[解](1)设以直线y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝.当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.双曲线方程的求解方法1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y＝±x为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)...