2.3.1双曲线的标准方程学习目标核心素养1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)1.通过双曲线标准方程的推导、培养数学运算素养．2.借助双曲线标准方程的求法，提升逻辑推理素养.双曲线的标准方程标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2＝a2＋b2思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？[提示]“焦点跟着正项走”，若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．1．双曲线－＝1的焦距为()A．3B．4C．3D．4D[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1或－＝1D.－＝0或－＝0C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.]3．若k∈R，方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．(－3，－2)[据题意知(k＋3)(k＋2)＜0，1解得－3＜k＜－2.]4．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.1[由条件可得4－a2＝a＋2，解得a＝1.]求双曲线标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P，Q；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．[思路探究]解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．[解](1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴点P和Q在双曲线上，∴解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得∴双曲线的标准方程为－＝1.法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． P，Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题设有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.法二： 焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． 双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤22．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．1．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程．[解]椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1.双曲线标准方程的讨论【例2】(1)如果方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．(2)“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．[思路探究]根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解．(1)(－2，－1)(2)必要不充分[(1)由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1)．(2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab<0”不是充分条件．](3)[解]由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．方程表示双曲线的条件及参数范围的求法1．对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线．进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．2．对于方程－＝1，则当mn＞0时表示双曲线．且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．32．讨论＋＝1表示...
