高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质讲义（含解析）湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学教案VIP免费

2．3.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质[读教材·填要点]抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下[小问题·大思维]1．抛物线y2＝2px(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即x轴，不是中心对称图形．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径|PF||PF|＝____|PF|＝____|PF|＝____|PF|＝____焦点弦|AB||AB|＝____|AB|＝____|AB|＝____|AB|＝____提示：标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径|PF||PF|＝x0＋|PF|＝－x0|PF|＝y0＋|PF|＝－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2抛物线方程及其几何性质已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[自主解答]当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)．当x＝时，y＝±p，由|AB|＝2p＝8，得p＝4.故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程y2＝－2px(p>0)．由对称性知抛物线方程为y2＝－8x，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：1．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点F，直线l：x＝，∴A，B两点坐标为，.∴|AB|＝2|p|. △OAB的面积为4，∴··2|p|＝4.∴p＝±2.∴抛物线方程为y2＝±4x.抛物线几何性质的应用已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[自主解答] |OA|＝|OB|，∴设A，B坐标分别为A(x0，y0)，B(x0，－y0)． △AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，∴kFA·kOB＝－1，即·＝－1，∴y＝x0＝2px0(x0＞0，p＞0)．∴x0＝p.∴直线AB的方程为x＝p.若将“△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OA⊥OB”，求|AB|的值．解：由题意知，△AOB为等腰直角三角形，且A，B两点关于x轴对称．如图，设A(x0，y0)，则kOA＝＝1且y＝2px0，∴x0＝y0＝2p，∴|AB|＝2y0＝4p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件．本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段AB垂直于x轴．故求直线AB的方程时求出A的横坐标即可．2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，且OA的方程为y＝2x，|AB|＝5，求抛物线的方程．解： OA⊥OB，∴△AOB为直角三角形． OA所在直线为y＝2x，∴OB所在直线方程为y＝－x.由得A点坐标.由得B点坐标为(8p，－4p)． |AB|＝5，∴＝5. p>0，解得p＝，∴所求抛物线方程为y2＝x.抛物线中过焦点的弦长问题过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．[自主解答]抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.抛物线y2＝±2px(p>0)的过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x2＝±2py(p>0)的过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值．3．已知直线l：y＝4x－6与抛物线y2＝6x交于A，B两点，求|AB|.解：设点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)联立消去y得8x2－27x＋18＝0，①则x1，x2是方程①的两根，∴x1＋x2＝. y＝4x－6＝4过抛物线的焦点，∴|AB|...