高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质讲义 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

2.2.2椭圆的几何性质学习目标核心素养1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．(难点)3.会用椭圆的方程及性质处理一些实际问题．(重点、难点)1.通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象素养．2.借助直线与椭圆的位置运算，培养数学运算素养.1．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称轴x轴，y轴对称中心(0,0)离心率e＝(0＜e＜1)2．离心率(1)定义：焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率．(2)范围：e＝∈(0,1)．(3)作用：当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆．思考：(1)离心率e能否用表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示](1)e2＝＝＝1－2，所以e＝.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是()1A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)D[椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．]2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3,0.8B．10,6,0.8C．5,3,0.6D．10,6,0.6B[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故B.]3．椭圆＋＝1(a>2)的离心率e＝，则实数a的值为________．2[因为a>2，所以e＝＝，解得a＝2.]4．椭圆＋y2＝1被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为________．1[右焦点为(，0)，把x＝代入得＋y2＝1，解得y＝±，所以过焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为×2＝1.]由椭圆的方程求其几何性质【例1】(1)椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离为________．(2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路探究]分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质．(1)2[把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得＋＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝，故2c＝2.](2)[解]椭圆的方程可化为x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝＝＝4，∴椭圆的长轴长和短轴长分别为18,2. 椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝.研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．1．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标．[解]椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，因为m－＝>0，所以m>，所以焦点在x轴上，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝，得e＝＝＝，所以m＝1.所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.所以a＝1，b＝，c＝，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶2点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.由椭圆的几何性质求方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路探究]→→→[解](1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，∴a＝3.又e＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.∴椭圆的标准方程为＋＝1.由椭圆的几何性质求方程的方法步骤1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．2．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求该...