高中数学 已知递推关系求通项公式教案 新人教A版必修5VIP免费

数列专题：递推公式求通项公式题型一：⑴.1nnaapnq（差后等差数列）例1.数列{}na中，11a，121(2)nnaann，求na⑵1nnnaab（差后等比数列）例2.已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．题型二：1na=na+m(相邻两项满足线性关系)例.数列na满足1na＝2na+3,a1=1求通项.解：（1na+）＝2(na+)∴=3∴1na+3=2(na+3)即｛na+3｝成G.P公比q=2首项a1+3=4∴na+3=421n∴na=12n-3练习：在数列{an}中，a1=2，且an+1=212na，求{an}的通项公式．解：an+12=21an2+21∴an+12－1=21（an2－1）∴{an+12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列．∴an+12－1=3×121n，即an=1231n题型三：1na＝na+qpn用心爱心专心1例：数列na满足1na＝4na+3n-2,a1=1,求通项.解法一：2na＝41na+3（n+1）-21na=4na+3n-2因此有2na-1na＝4（1na-na）+3，令nc＝1na-na，则1nc＝4nc+31nc+＝4（nc+）+3∴＝11nc+1＝4（nc+1），C1+1=a2-a1+1=5{nc+1}成等比数列1nC＝514n，nc＝514n-1∴1na-na＝514n-1 1na-na＝3na+3n-2即514n-1＝3na+3n-2∴na＝n1514n33。解法二：设)(4)1(1nanann3424解得31,1∴)31(431)1(1nanann∴143531nnna∴314351nann题型四：1na＝na+nb例1：数列na满足1na＝3na+2n,a1=1,求通项.解法一：1131,2222nnnnaa令nc＝2nna，C1＝121nc+＝32（nc+）∴＝1∴{nc+1}成等比数列,C1+1=12+1=32，1nC＝32n用心爱心专心2∴nc＝32n-1na＝2nnc＝3n-2n解法二：设)2(3211nnnnaa1231∴)2(3211nnnnaa∴nnna32∴nnna23例2：（05江西文）数列na的前n项和ns满足ns-n2s＝3n112（n3），且1S=1，2S=-32,求na通项公式.nn2SS＝nn1SS+n1n2SS＝nn1aa＝3n11212nna12+n1n1a12＝3，令nb＝nna12nb-2n1b＝-6nb+＝2（n1b+），2-＝-6＝-6nb-6＝2（n1b-6） 1b=-21a=-2∴1b-6=-8,nb-6=-8•n12=-n22∴nb=6-n22na=n12(6-n22)=3n1n112-4n1即na＝n1n1143n2k12134n2k2＝.题型五：1na=f(n)na用心爱心专心3由na＝121121nnnnaaaaaaaf(n-1)f(n-2)┈f(1)a1即“累积法”求na例：数列na满足a1=1，na＝1212(1)naana（n2）求na的通项公式.解：na＝1212(1)naana1na＝1212(1)naana+nna∴1na-na=nna,1nnaa=n+1,注意n2且a1=1，∴na＝13122nnnnaaaaaa＝n(n-1)┈3∴2na=!2n(n2)∴na=!2211nnn题型六：2na=p1na+qna(p、q均为常数)2na=p1na+qna2na-1na＝（1na-na）∴pq解出、因此｛1na-na｝是等比数列例1：a1=1，a2=532na=531na-23na,求数列｛na｝的通项公式na。解：2na-1na＝（1na-na）5323解得：＝1、＝232na-1na＝23（1na-na），a2-a1=23∴na-1na=123n∴na＝（用心爱心专心4na-1na）+（1na-2na）+┈+（a2-a1）+a1=123n+223n+┈+23+1=3-123nn.∴na＝3-123nn题型七：连续两项之间不满足线性关系的。例1．（倒数法）已知数列{an}中，a1=53，an+1=12nnaa，求{an}的通项公式．解：211211nnnnaaaa∴na1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351na+2（n－1）=316n∴an=163n例2：（对数法）数列na满足a1=2，21na＝na+1na，求na的通项。解：1na＝212nnaa，且21na>21na>1∴na>1恒成立。1na+1＝212nnaa，1na-1＝212nnaa...