2.5.2离散型随机变量的方差与标准差学习目标核心素养1.了解并掌握随机变量的方差和标准差的概念，了解方差、标准差的意义．(重点)2．掌握服从两点分布和二项分布的方差公式，会运用方差的概念及相关公式求随机变量的方差和标准差．(难点)1.借助概念构建，提升数学抽象素养．2．借助实际问题的解决，培养数学建模、数学运算素养.1．离散型随机变量的方差和标准差若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或σ2.即V(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn，其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.方差也可用公式V(X)＝∑xpi－μ2计算．X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝.2．超几何分布和二项分布的方差(1)若X～01分布，则V(X)＝p(1－p)；(2)当X～H(n，M，N)时，V(X)＝\s\up7()(3)当X～B(n，p)时，V(X)＝np(1－p)．思考1：离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？[提示]离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．思考2：离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？[提示]离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定．1．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，V(X)的值分别是()A．0和1B．p和p2C．p和1－pD．p和(1－p)pD[随机变量X的概率分布符合两点分布，所以E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．]2．已知随机变量ξ，V(ξ)＝，则ξ的标准差为________．[ξ的标准差＝＝.]3．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则V(X)的值为________．[由题意知X～B，所以V(X)＝4××＝.]方差和标准差的计算【例1】(1)已知随机变量X满足V(X)＝2，则V(3X＋2)＝______.(2)一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则V(ξ)等于________．(3)已知η的分布列为：η010205060P①求η的方差及标准差；②设Y＝2η－E(η)，求V(Y)．(1)18(2)0.196[(1)V(3X＋2)＝9V(X)＝18.(2)ξ服从二项分布，ξ～B(10,0.02)，∴V(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.](3)[解]① E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，所以V(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，∴＝8.②法一：随机变量Y的概率分布为：Y－1642484104P∴E(Y)＝－16×＋4×＋24×＋84×＋104×＝16，V(Y)＝(－16－16)2×＋(4－16)2×＋(24－16)2×＋(84－16)2×＋(104－16)2×＝1536.法二： Y＝2η－E(η)，V(Y)＝V(2η－E(η))＝22V(η)＝4×384＝1536.求离散型随机变量的方差的类型及方法(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下：①求均值；②求方差．(2)已知分布列是两点分布或二项分布：型：直接套用公式求解，具体如下：①若X服从两点分布，则V(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，则V(X)＝np(1－p)．(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况．(4)对于已知V(X)求V(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用V(aX＋b)＝a2V(X)求解．1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，V(X)＝，求n，p的值．[解]由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，V(X)＝np(1－p)＝，得1－p＝，∴p＝，n＝6.方差的应用【例2】甲、乙两射手在同一条件下进行射击，射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.4.用击中环数的数学期望与方差比较两名射手的射击水平．[思路探究]分别计算甲、乙两射手的期望与方差，比较其大小，并依据期望与方差的意义作出结论．[解]设甲、乙两射手射击，击中环数...
