第2章函数函数值域的求法函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．【例1】求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝；(3)f(x)＝x＋.思路点拨：(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解．[解](1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0.所以函数y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2＋.而≠0，所以2＋≠2，因此函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝，得x＝.而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2.所以函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)令＝t，则t≥0，x＝＝t2＋，∴y＝t2＋＋t＝－.1 t≥0，∴y≥，∴函数f(x)＝x＋的值域为.常见的求值域的方法1直接法观察法：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数fx＝5x＋1x∈{1，2，3，4}的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数fx的值域为{6，11，16，21}.2分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.3反解法：例如求函数y＝的值域.由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝的值域为－∞，1∪.4图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.5换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.1．(1)函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为________、________.(2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．(1)106(2)1[(1)f(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝8.在[－1,1]上，f(x)0,1＋x>0,1＋x>0.又 －10，∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)． f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－10时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)在区间[－3,3]上...
