高中数学 第1章 集合 1.2 子集、全集、补集（第2课时）全集、补集讲义 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学教案VIP免费

第2课时全集、补集学习目标核心素养1.了解全集的意义，理解补集的含义．(重点)2.能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)通过求集合的补集来提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.1．补集(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．(3)图形表示：2．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合的补集中一定含有元素．()(2)研究A在U中的补集时，A必须是U的子集．()(3)一个集合的补集的补集是其自身．()[答案](1)×(2)√(3)√2．U＝{x|－1＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁UA＝______.{x|－1＜x≤0}[根据补集的定义，所求为在U中但不在A中的元素组成的集合，所以∁UA＝{x|－1＜x≤0}．]集合的补集【例1】(1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则∁UA等于________；(2)已知集合U＝{x∈N|x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则∁UA＝__________，∁UB＝________.思路点拨：(1)利用数轴将集合表示出来再求补集；(2)利用列举法表示出全集U，集合A，B，再求A，B的补集．(1){x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}(2){0,2,4,6,8,10}{0,1,4,6,8,9,10}[(1)在数轴上表示出全集U，集合A，如图所示，根据补集的概念可知∁UA＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}．(2)U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，因为A＝{小于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，所以∁UA＝{0,2,4,6,8,10}．因为B＝{小于11的素数}＝{2,3,5,7}，所以∁UB＝{0,1,4,6,8,9,10}．]1．求补集∁UA的关键是确定全集U及集合A的元素．常见补集的求解方法有：(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．(3)利用Venn图求解．2．补集是以全集为前提建立的，即A一定是U的子集，∁UA也一定是U的子集，求解有关问题时，一定要充分利用这种包含关系．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－24}[将全集U，集合A表示在数轴上，如图所示．∴∁UA＝{x|－3≤x≤－2或x>4}．]补集与子集的综合应用[探究问题]1．若M⊆N，则∁UM与∁UN有什么关系？[提示]由Venn图可知，若M⊆N，∁UM⊇∁UN.反之，若∁UM⊇∁UN，则M⊆N，即M⊆N⇔∁UM⊇∁UN.2．若M⊆N，针对M应考虑的两种情况是什么？[提示]两种情况是M＝∅和M≠∅.【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．思路点拨：首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁UB，然后再利用A⊆∁UB得关于a的不等式求解即可．[解]若B＝∅，则a＋1>2a－1，∴a<2.此时∁UB＝R，∴A⊆∁UB；若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁UB＝{x|x2a－1}，由于A⊆∁UB，如图，则a＋1>5，∴a>4，∴实数a的取值范围为a<2或a>4.(变条件)若将本例中的“A⊆∁UB”改为“B⊆∁UA”，求实数a的取值范围．[解]∁UA＝{x|x<－2或x>5}．∵B⊆∁UA，当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝∅，B⊆∁UA.当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠∅.∴2a－1<－2或a＋1>5，即a>4，综上，a的取值范围为a<2或a>4.解决此类问题应注意以下几点(1)空集作为特殊情况，不能忽略；(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；(3)端点值能否取到，应注意分析．1．∁UA的数学意义包括两个方面：①A⊆U，也即暗含了A必须是U的子集这一条件；②∁UA＝{x|x∈U，且xA}．2．补集是集合间的关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想.1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则∁UB＝________.{1,2}[根据补集的定义∁UB＝{x|x∈U且xB}＝{1,2}．]2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝________.{x|x<1}[A＝{x|x≥1}，∴∁UA＝{x|x<1}．]3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－3a}，A⊆C，求a的取值范围．[解](1)∵A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|27}．(2)要使A⊆C，只需a<3即可．∴a的取值范围为{a|a<3}．