高中数学 4.2.1 实际问题中导数的意义二教案 北师大选修1-1VIP免费

实际问题中导数的意义教学过程：一、主要知识点：1.基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）.②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.（3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.（4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）.②求方程f'（x）＝0的根.③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值.（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．二、典型例题例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？思路一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？用心爱心专心1变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：答案：．评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值.可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米．（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得用心爱心专心2令得当时，是减函数；当时，是增函数．当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例3、求抛物线上与点距离最近的点.解：设为抛物线上一点，则.与同时取到极值.令.由得是唯一的驻点.当或时，是的最小值点，此时.即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）.例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境.已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正...