3.1.3．空间向量的数量积（1）教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课讲解：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,ab，在空间任取一点O，作,OAaOBb�，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab，显然有,,abba；若,2ab，则称a与b互相垂直，记作：ab；2．向量的模：设OAa�，则有向线段OA�的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a；3．向量的数量积：已知向量,ab，则||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即ab||||cos,abab．已知向量ABa�和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB�叫做向量AB�在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB�的长度||||cos,||ABABaeae�．4．空间向量数量积的性质：（1）||cos,aeaae．（2）0abab．（3）2||aaa．用心爱心专心ACBABe5．空间向量数量积运算律：（1）()()()ababab．（2）abba（交换律）．（3）()abcabac（分配律）．（三）例题分析：例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：,mn是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且,lmln求证：l．证明：在内作不与,mn重合的任一直线g，在,,,lmng上取非零向量,,,lmng，∵,mn相交，∴向量,mn不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对(,)xy，使gxmyn，∴lgxlmyln，又∵0,0lmln，∴0lg，∴lg，∴lg，所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．证明：（法一）()()ADBCABBDACAB�2ABACBDACABABBD�()0ABACABBDABDC�．（法二）选取一组基底，设,,ABaACbADc�，∵ABCD，∴()0acb，即acba，同理：abbc，，∴acbc，用心爱心专心lmnmnggl∴()0cba，∴0ADBC�，即ADBC．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。例3．如图，在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值。解：∵BCACAB�，∴OABCOAACOAAB�||||cos,||||cos,OAACOAACOAABOAAB�84cos13586cos12024162∴24162322cos,855||||OABCOABCOABC���，所以，OA与BC的夹角的余弦值为3225．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OAAC�易错写成,45OAAC�切记！五．巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。七．作业：课本第106页第3、4题补充：1．已知向量ab，向量c与,ab的夹角都是60，且||1,||2,||3abc，试求：（1）2()ab；（2）2(2)abc；（3）(32)(3)abbc．用心爱心专心OABC
